Use o Teorema de Green e a elipse x^2a^2+y^2b^2=1 para calcular
integralC e^x sin y d x+(e^x cos y+3 x) d y
onde C é a elipse x^24+y^29=1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
integralC e^xsin y,dx + l(e^xcos y + 3xr),dy
onde C é a elipse tfracx^24+tfracy^29=1, usando o Teorema de Green. O conteúdo envolve transformar a integral de linha em uma integral dupla sobre a região D interna à elipse.

Passo 2

Pelo Teorema de Green, se P(x,y)=e^xsin y e Q(x,y)=e^xcos y + 3x, então
integralCP,dx + Q,dy = integral duplaDl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
partial Qpartial x = partialpartial xl(e^xcos y + 3xr) = e^xcos y + 3,
partial Ppartial y = partialpartial yl(e^xsin yr) = e^xcos y
Logo,
partial Qpartial x-partial Ppartial y = l(e^xcos y + 3r) - e^xcos y = 3

Passo 4

Então a integral de linha vale
integral duplaD3,dA = 3integral duplaD1,dA = 3cdotArea(D)
A região D é a elipse com semi-eixos a=2 e b=3, cujo área é
Area(D)=pi a b = picdot2cdot3 = 6pi
Portanto,
integralCP,dx+Q,dy = 3cdot6pi = 18pi

Resposta

18pi

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