Calcule:

Passo 1

Beleza, a gente quer achar o limite limxto+inftyl(tfracx+2x+1r)^x. O conteúdo é limites do tipo 1^infty e vamos usar logaritmo e a definição do número e pra resolver.

Passo 2

Perceba que podemos reescrever a base assim:
x+2x+1=1+1x+1
Com isso o limite vira l(1+tfrac1x+1r)^x, evidenciando a indeterminação 1^infty.

Passo 3

Definimos y=l(1+tfrac1x+1r)^x e calculamos ln y. Temos:
ln y = xlnl(1+1x+1r)
Como ln(1+u)sim u quando uto0, com u=tfrac1x+1 ficamos com:
ln y sim xcdot1x+1=xx+1to1
Isso mostra que limxto+inftyln y=1.

Passo 4

Para recuperar y, aplicamos exponencial:
limxto+inftyy=expl(limxto+inftyln yr)=exp(1)=e

Resposta

e

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