5-Calcule:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida de $-2$ até $-1$ da função $\frac{1}{x^{2}} + x$. O conteúdo é integração definida e antiderivadas, e vamos precisar do Teorema Fundamental do Cálculo e das regras de potência para encontrar a primitiva.
Passo 2
Primeiro, encontramos a antiderivada (primitiva) de cada termo. Para $x^{-2}$ temos como antiderivada $-x^{-1}$ e para $x$ temos $x^{2}/2$. Assim, uma primitiva $F(x)$ é:
$$
F(x) = -\frac{1}{x} + \frac{x^{2}}{2}
$$
F(x) = -\frac{1}{x} + \frac{x^{2}}{2}
$$
Passo 3
Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo, ou seja, avaliamos $F(x)$ nos limites de integração $-1$ e $-2$ e fazemos a diferença $F(-1) - F(-2)$. Calculando separadamente: \nF(-1) = -\frac{1}{-1} + \frac{(-1)^{2}}{2} = 1 + \frac{1}{2} = \tfrac{3}{2}\
F(-2) = -\frac{1}{-2} + \frac{(-2)^{2}}{2} = \tfrac{1}{2} + 2 = \tfrac{5}{2}\
F(-2) = -\frac{1}{-2} + \frac{(-2)^{2}}{2} = \tfrac{1}{2} + 2 = \tfrac{5}{2}\
Logo, a integral é \n$$
F(-1) - F(-2) = \tfrac{3}{2} - \tfrac{5}{2} = -1
$$
F(-1) - F(-2) = \tfrac{3}{2} - \tfrac{5}{2} = -1
$$
Resposta
-1