Desenhe o conjunto
abaixo e calcule a área:
e
.
Passo 1
O enunciado pede para desenhar o conjunto A = { (x,y) ∈ ℝ² ∣ 0 ≤ x ≤ 1 e √x ≤ y ≤ 3 } e calcular sua área. Vamos usar conceitos de integração para área de regiões planas.
Passo 2
No plano, a região é delimitada por quatro curvas: a reta vertical x = 0, a reta vertical x = 1, a curva y = √x (limite inferior) e a reta horizontal y = 3 (limite superior). Para esboçar, note que y = √x vai de (0,0) a (1,1) e y = 3 é uma linha paralela ao eixo x acima.
Passo 3
Para encontrar a área, usamos fatias verticais. Cada fatia, num dado x ∈ [0,1], tem altura y_sup – y_inf = 3 – √x. Assim, montamos a integral definida
Passo 4
Agora calculamos a integral separando os termos:
Passo 5
Subtraindo, obtemos Área = 3 – 2/3 = 7/3.
Resposta
A área do conjunto
é
.