Desenhe o conjunto A abaixo e calcule a área:
e .

Passo 1

O enunciado pede para desenhar o conjunto A = { (x,y) ∈ ℝ² ∣ 0 ≤ x ≤ 1 e √x ≤ y ≤ 3 } e calcular sua área. Vamos usar conceitos de integração para área de regiões planas.

Passo 2

No plano, a região é delimitada por quatro curvas: a reta vertical x = 0, a reta vertical x = 1, a curva y = √x (limite inferior) e a reta horizontal y = 3 (limite superior). Para esboçar, note que y = √x vai de (0,0) a (1,1) e y = 3 é uma linha paralela ao eixo x acima.

Passo 3

Para encontrar a área, usamos fatias verticais. Cada fatia, num dado x ∈ [0,1], tem altura y_sup – y_inf = 3 – √x. Assim, montamos a integral definida
Área = integral0^1 l(3 - raizxr),dxÁ

Passo 4

Agora calculamos a integral separando os termos:
integral0^13,dx = [3x]0^1 = 3,
integral0^1x^1/2,dx = l[tfrac23x^3/2r]0^1 = tfrac23

Passo 5

Subtraindo, obtemos Área = 3 – 2/3 = 7/3.

Resposta

A área do conjunto A é tfrac73.

Exercícios relacionados