5-Calcule:

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida integral1^21+3x^2x,dx. Isso envolve cálculo de integrais de funções racionais, usando decomposição do integrando e regras básicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o integrando dividindo cada termo do numerador por x.

Passo 3

1+3x^2x=1x+3x

Passo 4

Agora reescrevemos a integral na forma
integral1^2l(1x+3xr)dx

Passo 5

Aplicamos as fórmulas básicas de integração: integral x^-1dx=ln|x| e integral x,dx=tfracx^22. Logo a primitiva é
integrall(1x+3xr)dx=ln|x|+3cdotx^22=ln|x|+3x^22

Passo 6

Agora avaliamos essa primitiva nos limites de 1 a 2:
l[ln|x|+tfrac3x^22r]1^2=l(ln2+tfrac3cdot2^22r)-l(ln1+tfrac3cdot1^22r)

Passo 7

Calculando cada termo (sabendo que ln1=0 e 2^2=4):
ln2+3cdot42-3cdot12=ln2+6-32=ln2+92

Resposta

ln2+tfrac92

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