Calcule:

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral x(1 + 4x^2)^2 ,dx. O conteúdo principal é integração por substituição, pois a derivada de 1+4x^2 aparece (até constante) no numerador.

Passo 2

Escolhemos a substituição u = 1 + 4x^2. Calculando a diferencial: du = 8x,dx, ou seja, x,dx = tfrac18,du.
Reescrevendo a integral em termos de u:
integral x(1+4x^2)^2 ,dx = integral 1u^2 l(x,dxr) = integral 1u^2 cdot 18 ,du = 18 integral u^-2 ,du

Passo 3

Agora integramos u^-2:
integral u^-2 ,du = u^-1-1 = -u^-1
Logo,
18 integral u^-2 ,du = 18 (-u^-1) = -18u + C

Passo 4

Voltando à variável original x, substituímos u = 1 + 4x^2 e obtemos
-18(1 + 4x^2) + C

Resposta

-\frac{1}{8(1+4x^2)} + C

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