Calcule as seguintes integrais:
integral r e^r / 3 d r

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral r e^r/3 ,dr. O conteúdo principal aqui é a técnica de integração por partes, que usamos quando temos um produto de funções.

Passo 2

Escolhemos as partes da integração por partes: u = r e dv = e^r/3 ,dr.

Passo 3

Calculamos du e v:
du = dr
Para encontrar v, fazemos a integral
v = integral e^r/3 ,dr
Usamos a substituição t = r/3, logo dr = 3,dt, e obtemos
v = integral e^t cdot 3 ,dt = 3e^t = 3e^r/3

Passo 4

Aplicamos a fórmula de integração por partes integral u,dv = uv - integral v,du:
integral r e^r/3 ,dr = r cdot 3e^r/3 - integral 3e^r/3 ,dr
Agora calculamos integral 3e^r/3 ,dr = 3 cdot 3e^r/3 = 9e^r/3

Passo 5

Juntando tudo, a integral fica:
3r e^r/3 - 9e^r/3 + C = 3e^r/3(r - 3) + C

Resposta

3e^{r/3}(r - 3) + C

Exercícios relacionados