Questão 1: Ache o domínio da função racional. Em seguida, fatore numerador e denominador e simplifique.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar o domínio da função racional $ G(x) = \frac{6x^{2} + x - 1}{6x^{4} + x^{3} - 7x^{2} - x + 1} $. Depois, vamos fatorar o numerador e o denominador para simplificar a expressão. Para isso, vamos usar conhecimentos de funções racionais e fatoração de polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o domínio da função. O domínio de uma função racional são todos os valores de $ x $ que não deixam o denominador igual a zero, porque a divisão por zero não é definida.
Então, precisamos resolver a equação:
Em outras palavras, queremos encontrar os valores de $ x $ que não fazem o denominador ser zero.
Passo 3
Agora, vamos fatorar o numerador e o denominador para facilitar a simplificação.
Numerador:
Vamos procurar dois números que multiplicados dão $ 6 \times (-1) = -6 $ e que somados dão $ 1 $. Esses números são $ 3 $ e $ -2 $.
Então, reescrevemos o numerador:
Denominador:
Esse polinômio de quarto grau pode ser fatorado por tentativa e erro ou usando o método de agrupamento. Vamos tentar agrupar os termos:
Agrupando os primeiros dois termos e os últimos três:
Fatorando:
Observando bem, percebemos que o denominador pode ser fatorado como:
E o termo $ 2x^{2} + x - 1 $ pode ser fatorado novamente:
Então, o denominador fatorado fica:
Passo 4
Agora que fatoramos o numerador e o denominador, vamos simplificar a função $ G(x) $:
Não há fatores comuns para cancelar, então a função simplificada fica:
Resposta
O domínio da função $ G(x) $ são todos os números reais exceto $ x = \frac{1}{2} $ e $ x = -1 $. A função simplificada é: