Questão 1: Ache o domínio da função racional. Em seguida, fatore numerador e denominador e simplifique.
G(x)=6 x^2+x-16 x^4+x^3-7 x^2-x+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar o domínio da função racional $ G(x) = \frac{6x^{2} + x - 1}{6x^{4} + x^{3} - 7x^{2} - x + 1} $. Depois, vamos fatorar o numerador e o denominador para simplificar a expressão. Para isso, vamos usar conhecimentos de funções racionais e fatoração de polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o domínio da função. O domínio de uma função racional são todos os valores de $ x $ que não deixam o denominador igual a zero, porque a divisão por zero não é definida.
Então, precisamos resolver a equação:
x
Em outras palavras, queremos encontrar os valores de $ x $ que não fazem o denominador ser zero.

Passo 3

Agora, vamos fatorar o numerador e o denominador para facilitar a simplificação.
Numerador:
6x^2 + x - 1
Vamos procurar dois números que multiplicados dão $ 6 \times (-1) = -6 $ e que somados dão $ 1 $. Esses números são $ 3 $ e $ -2 $.
Então, reescrevemos o numerador:
6 times (-1) = -6
Denominador:
1
Esse polinômio de quarto grau pode ser fatorado por tentativa e erro ou usando o método de agrupamento. Vamos tentar agrupar os termos:
Agrupando os primeiros dois termos e os últimos três:
3
Fatorando:
-2
Observando bem, percebemos que o denominador pode ser fatorado como:
6x^2 + 3x - 2x - 1 = 3x(2x + 1) -1(2x + 1) = (3x - 1)(2x + 1)
E o termo $ 2x^{2} + x - 1 $ pode ser fatorado novamente:
6x^4 + x^3 - 7x^2 - x + 1
Então, o denominador fatorado fica:
(6x^4 + x^3) + (-7x^2 - x + 1)

Passo 4

Agora que fatoramos o numerador e o denominador, vamos simplificar a função $ G(x) $:
G(x)
Não há fatores comuns para cancelar, então a função simplificada fica:
G(x) = (3x - 1)(2x + 1)(3x^2 - x + 1)(2x - 1)(x + 1)

Resposta

O domínio da função $ G(x) $ são todos os números reais exceto $ x = \frac{1}{2} $ e $ x = -1 $. A função simplificada é:
G(x)

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