Calcule:

Passo 1

Nessa questão a gente tem que calcular . O conteúdo aqui envolve mudança de variável (substituição) e, depois, integração por partes.

Passo 2

Repara que 2x,dx é exatamente a derivada de x^2. Fazendo a substituição u = x^2, a diferencial fica du = 2x,dx. Como mudamos a variável, ajustamos também os limites: quando x=0, u=0; e quando x=1/2, u=(1/2)^2=1/4. Assim a integral vira integral0^1/4arcsin(u),du.

Passo 3

Para calcular integralarcsin(u),du, usamos integração por partes. Escolhemos:
a = arcsin(u), db = du
Então
da = 1raiz1-u^2,du, b = u
Pela fórmula integral a,db = a b - integral b,da, temos
integralarcsin(u),du = uarcsin(u) - integral ucdot1raiz1-u^2,du

Passo 4

Precisamos agora de integraluraiz1-u^2,du. Fazemos outra substituição:
t = 1 - u^2, dt = -2u,du Longrightarrow u,du = -tfrac12,dt
Daí sai
integraluraiz1-u^2,du = -tfrac12integral t^-1/2,dt = -raiz t = -raiz1-u^2

Passo 5

Voltando para a integral original, o antiderivado de arcsin(u) é
uarcsin(u) + raiz1-u^2 + C

Passo 6

Agora é só avaliar de u=0 até u=1/4:
l[uarcsin(u) + raiz1-u^2r]0^1/4 = l(tfrac14arcsin(tfrac14) + tfracraiz154r) - 1

Passo 7

Portanto, voltando à variável x, a integral vale
14arcsinl(tfrac14r) + raiz154 - 1

Resposta

14arcsinl(tfrac14r) + raiz154 - 1

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