Seja
, onde g é uma função diferenciável tal que
e
. Encontre a equação da reta normal ao gráfico de
no ponto
.
Passo 1
O problema nos apresenta a função $ f(x) = g\left(x^{3} + 4x - 5\right) $, onde $ g $ é diferenciável e temos as informações $ g(0) = 7 $ e $ g’(0) = 5 $. Precisamos encontrar a equação da reta normal ao gráfico de $ f $ no ponto $ (1, f(1)) $. Vamos utilizar conceitos de derivadas e geometria analítica para resolver este exercício.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor de $ f(1) $. Substituindo $ x = 1 $ na função $ f(x) $:
Sabemos que $ g(0) = 7 $, então:
Passo 3
Agora, precisamos calcular a derivada de $ f(x) $, isto é, $ f’(x) $. Como $ f(x) = g(u(x)) $, onde $ u(x) = x^{3} + 4x - 5 $, aplicamos a regra da cadeia para derivadas:
Primeiro, vamos encontrar $ u’(x) $:
Portanto:
Passo 4
Queremos a derivada no ponto $ x = 1 $. Calculamos $ u(1) $:
Então:
Passo 5
A reta normal é perpendicular à reta tangente no ponto de interesse. Sabemos que a inclinação da reta tangente é $ f’(1) = 35 $. A inclinação da reta normal será o recíproco negativo da inclinação da tangente:
Passo 6
Com a inclinação da reta normal $ m = -\frac{1}{35} $ e o ponto $ (1, 7) $, usamos a fórmula ponto-inclinação para encontrar a equação da reta:
Substituindo os valores:
Resposta
A equação da reta normal ao gráfico de $ f $ no ponto $ (1, 7) $ é: