Seja f(x)=g(x^3+4 x-5), onde g é uma função diferenciável tal que g(0)=7 e g^prime(0)=5. Encontre a equação da reta normal ao gráfico de f no ponto (1, f(1)).

Passo 1

O problema nos apresenta a função $ f(x) = g\left(x^{3} + 4x - 5\right) $, onde $ g $ é diferenciável e temos as informações $ g(0) = 7 $ e $ g’(0) = 5 $. Precisamos encontrar a equação da reta normal ao gráfico de $ f $ no ponto $ (1, f(1)) $. Vamos utilizar conceitos de derivadas e geometria analítica para resolver este exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de $ f(1) $. Substituindo $ x = 1 $ na função $ f(x) $:
f(1)
Sabemos que $ g(0) = 7 $, então:
x = 1

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de $ f(x) $, isto é, $ f’(x) $. Como $ f(x) = g(u(x)) $, onde $ u(x) = x^{3} + 4x - 5 $, aplicamos a regra da cadeia para derivadas:
f(x)
Primeiro, vamos encontrar $ u’(x) $:
f'(x)
Portanto:
f(x) = g(u(x))

Passo 4

Queremos a derivada no ponto $ x = 1 $. Calculamos $ u(1) $:
x = 1
Então:
u(1)

Passo 5

A reta normal é perpendicular à reta tangente no ponto de interesse. Sabemos que a inclinação da reta tangente é $ f’(1) = 35 $. A inclinação da reta normal será o recíproco negativo da inclinação da tangente:
f'(1) = 35

Passo 6

Com a inclinação da reta normal $ m = -\frac{1}{35} $ e o ponto $ (1, 7) $, usamos a fórmula ponto-inclinação para encontrar a equação da reta:
m = -135
Substituindo os valores:
(1, 7)

Resposta

A equação da reta normal ao gráfico de $ f $ no ponto $ (1, 7) $ é:
f

Exercícios relacionados