Exercício 1. Nos itens abaixo, verifique se as formas são exatas, caso seja, resolva.

Passo 1

O enunciado dá a equação
l(x^2y^3-11+9x^2r),dx + x^3y^2,dy = 0
e pede para verificar se é uma forma diferencial exata e, em caso afirmativo, resolver. O conteúdo necessário é teoria de equações diferenciais exatas: checar a condição partial M/partial y=partial N/partial x e, se valer, construir uma função potencial psi(x,y) tal que psix=M e psiy=N.

Passo 2

Identificamos
M(x,y)=x^2y^3-11+9x^2, N(x,y)=x^3y^2

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y=3x^2y^2, partial Npartial x=3x^2y^2
Como coincidem, a forma é exata.

Passo 4

Para obter a função potencial psi(x,y), integramos M em relação a x:
psi(x,y)=integrall(x^2y^3-11+9x^2r)dx =x^3y^33-13arctan(3x)+h(y)

Passo 5

Depois, derivamos psi(x,y) em relação a y e igualamos a N:
psiy=x^3y^2+h'(y)=x^3y^2 ; implies; h'(y)=0 ;implies; h(y)=constante

Passo 6

Logo, a solução geral fica dada implicitamente por
psi(x,y)=x^3y^33-13arctan(3x)=C

Resposta

x{3}y{3}-\arctan(3x)=K

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