Derivando implicitamente, determine a derivada indicada da função:
d yd x^prime, x^3+y^3-3 a x y=0, onde a in R

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para encontrar a derivada dydx de uma função que está definida de forma implícita. A função é x^3 + y^3 - 3a x y = 0, onde a é um número real. Para resolver isso, vamos usar a técnica de derivação implícita, que é útil quando y não está isolado.

Passo 2

Primeiro, precisamos derivar cada termo da equação em relação a x. Vamos fazer isso termo por termo:
  1. A derivada de x^3 em relação a x é 3x^2.
  2. A derivada de y^3 em relação a x é 3y^2 dydx. Aqui, usamos a regra da cadeia porque y é uma função de x.
  3. A derivada de -3a x y em relação a x precisa usar a regra do produto, já que temos x e y multiplicados.

Passo 3

Vamos aplicar a regra do produto na derivada de -3a x y:
ddx(-3a x y) = -3a ( ddx(x) cdot y + x cdot ddx(y) ) = -3a (1 cdot y + x cdot dydx) = -3a y - 3a x dydx

Passo 4

Agora, juntando todas as derivadas, temos:
3x^2 + 3y^2 dydx - 3a y - 3a x dydx = 0

Passo 5

Vamos agrupar os termos que contêm dydx:
3y^2 dydx - 3a x dydx = -3x^2 + 3a y

Passo 6

Fatoramos dydx do lado esquerdo:
dydx (3y^2 - 3a x) = -3x^2 + 3a y

Passo 7

Para isolar dydx, dividimos ambos os lados pela 3y^2 - 3a x:
dydx = -3x^2 + 3a y3y^2 - 3a x

Passo 8

Podemos simplificar dividindo o numerador e o denominador por 3:
dydx = -x^2 + a yy^2 - a x

Resposta

A derivada dydx da função dada é:
dydx = a y - x^2y^2 - a x

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