Derivando implicitamente, determine a derivada indicada da função:
, onde
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos pede para encontrar a derivada
de uma função que está definida de forma implícita. A função é
, onde
é um número real. Para resolver isso, vamos usar a técnica de derivação implícita, que é útil quando
não está isolado.
Passo 2
Primeiro, precisamos derivar cada termo da equação em relação a
. Vamos fazer isso termo por termo:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é . Aqui, usamos a regra da cadeia porque é uma função de . - A derivada de
em relação a precisa usar a regra do produto, já que temos e multiplicados.
Passo 3
Vamos aplicar a regra do produto na derivada de
:
Passo 4
Agora, juntando todas as derivadas, temos:
Passo 5
Vamos agrupar os termos que contêm
:
Passo 6
Fatoramos
do lado esquerdo:
Passo 7
Para isolar
, dividimos ambos os lados pela
:
Passo 8
Podemos simplificar dividindo o numerador e o denominador por 3:
Resposta
A derivada
da função dada é: