Calcule:
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício pede. Precisamos calcular a integral de $ e^{x} \cdot \sin\left(1 - e^{x}\right) $ em relação a $ x $. Para resolver isso, vamos usar a técnica de substituição da integração, que é uma ferramenta poderosa do cálculo para simplificar integrais complicadas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir para facilitar a integral. Observamos que o argumento do seno é $ 1 - e^{x} $. Vamos chamar esse argumento de $ u $:
Agora, precisamos encontrar a derivada de $ u $ em relação a $ x $, que chamaremos de $ du $:
Isso significa que:
Rearranjando, temos:
Passo 3
Substituindo $ u $ e $ e^{x} dx $ na integral original, ficamos com:
Agora, temos uma integral mais simples para resolver.
Passo 4
Vamos calcular a integral de $ \sin(u) $ em relação a $ u $:
Não se esqueça da constante de integração $ C $, que representa todas as possíveis constantes que podem aparecer na antiderivada.
Passo 5
Voltando à nossa substituição inicial, onde $ u = 1 - e^{x} $, substituímos $ u $ de volta na expressão:
Resposta
A integral de $ e^{x} \sin\left(1 - e^{x}\right) dx $ é: