Calcule:
integral 2 x(1+3 x)^6 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral 2x,(1+3x)^6,dx. O conteúdo principal é integração por substituição, que serve quando temos uma função composta e a derivada da parte interna aparece no integrando.

Passo 2

Vamos escolher a substituição u = 1 + 3x. Então temos:
du = 3,dx
Logo,
dx = du3
Além disso isolamos x em função de u:
x = u - 13
Agora substituímos na integral original. Após substituir, a integral fica:
integral 2x,(1+3x)^6,dx = integral 2!l(tfracu-13r),u^6,l(tfracdu3r) = 29integral (u-1),u^6,du = 29integral (u^7 - u^6),du

Passo 3

Agora integramos em u:
29integral (u^7 - u^6),du = 29l(u^88 - u^77r) + C = u^836 - 2,u^763 + C

Passo 4

Basta recompor u = 1 + 3x para voltar à variável x.

Resposta

(1+3x)^836 - 2,(1+3x)^763 + C

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