Considere a equação diferencial:
Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
Passo 1
A equação diferencial dada é uma equação de Euler–Cauchy: t² y″ – 3y = 0. Para resolvê-la, vamos usar o método que supõe uma solução da forma y = t^m e derivar uma equação característica em m.
Passo 2
Assumimos y = t^m, logo y′ = m t^{m−1} e y″ = m(m−1) t^{m−2}. Esse tipo de suposição é típica em equações de Euler–Cauchy, pois transforma a EDO em um polinômio em m.
Passo 3
Substituindo y″ na equação original temos:
Como t²·t^{m−2} = t^m, a expressão simplifica para:
Fatorando t^m (que não é zero para t ≠ 0) obtemos a equação característica:
Ou seja:
Passo 4
Resolvendo essa equação quadrática para m:
Passo 5
Como as raízes são distintas, a solução geral da EDO de Euler–Cauchy é combinação linear de t^{m₁} e t^{m₂}.
Resposta
y(t) = C_{1} t^{\tfrac{1 + \sqrt{13}}{2}} + C_{2} t^{\tfrac{1 - \sqrt{13}}{2}}