Resolva o seguinte PVI:
x^prime prime+5 x^prime+6 x=0, x(pi)=1, x^prime(pi)=5-7
Analise o comportamento da solução quando t +infty e quando t -infty.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI x''+5x'+6x=0 com condições iniciais x(pi)=1 e x'(pi)=5-7=-2. O conteúdo é EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, e vamos precisar usar a equação característica para encontrar as raízes e depois ajustar as constantes via as condições em t=pi.

Passo 2

Montamos a equação característica associada:
r^2 + 5r + 6 = 0

Passo 3

Resolvendo-a, fatoramos r^2+5r+6=(r+2)(r+3)=0, logo as raízes são r1=-2 e r2=-3. Assim, a solução geral da EDO é:
x(t) = A e^-2t + B e^-3t

Passo 4

Para determinar A e B, aplicamos as condições iniciais em t=pi:
A e^-2pi + B e^-3pi = 1,
-2A e^-2pi - 3B e^-3pi = -2

Passo 5

Resolvendo esse sistema, obtemos B=0 e A = e^2pi. Então a solução particular fica:
x(t) = e^2pi e^-2t = e^2pi - 2t,
e sua derivada é
x'(t) = -2 e^2pi - 2t

Passo 6

Para t to +infty, o expoente 2pi -2t to -infty, então x(t)to0 e x'(t)to0. Para t to -infty, temos 2pi -2tto +infty, logo x(t)to +infty e x'(t)to -infty.

Resposta

A solução é x(t)=e^2pi-2t e x'(t)=-2e^2pi-2t. Para tto+infty, x(t)to0 e x'(t)to0; para tto-infty, x(t)to+infty e x'(t)to-infty.

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