Resolva o seguinte PVI:
Analise o comportamento da solução quando
e quando
.
Analise o comportamento da solução quando
Passo 1
O enunciado pede para resolver o PVI
com condições iniciais
e
. O conteúdo é EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, e vamos precisar usar a equação característica para encontrar as raízes e depois ajustar as constantes via as condições em
.
Passo 2
Montamos a equação característica associada:
Passo 3
Resolvendo-a, fatoramos
, logo as raízes são
e
. Assim, a solução geral da EDO é:
Passo 4
Para determinar
e
, aplicamos as condições iniciais em
:
Passo 5
Resolvendo esse sistema, obtemos
e
. Então a solução particular fica:
e sua derivada é
Passo 6
Para
, o expoente
, então
e
. Para
, temos
, logo
e
.
Resposta
A solução é
e
. Para
,
e
; para
,
e
.