Calcule:
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Passo 1

O exercício pede a derivada em relação a x da função definida por
F(x)=integralraizx^0sinl(t^2r),dt
Aqui o conteúdo é o Teorema Fundamental do Cálculo com limites variáveis, e vai ser preciso usar também a regra da cadeia.

Passo 2

Para derivar uma integral com limites que dependem de x, a gente usa a fórmula
ddxintegrala(x)^b(x)f(t),dt = fl(b(x)r),b'(x) - fl(a(x)r),a'(x)
No nosso caso, a(x)=raizx e b(x)=0.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas dos limites:
b'(x)=ddx0=0
a'(x)=ddxraizx=12raizx.

Passo 4

Substituindo na fórmula:
F'(x)=sinl(0^2r)cdot0 - sinl((raizx)^2r)cdot12raizx
Como sin(0)=0 e (raizx)^2=x, isso vira
F'(x)=-sin(x)2raizx

Resposta

-dfracsin(x)2raizx

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