Calcule

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do seguinte limite:
limxto1^+l(xx-1-1ln xr)
Ao aproximar xto1^+, temos xx-1to+infty e 1ln xto+infty, ou seja, forma indeterminada +infty-infty. Para resolver, vamos primeiro escrever tudo num único quociente e depois usar o Teorema de L’Hôpital.

Passo 2

Reunindo em um único denominador (x-1)ln x, temos:
xx-1-1ln x =xln x - l(x-1r)(x-1)ln x =xln x - x + 1(x-1)ln x
Agora o limite ficou na forma 0/0, o que permite aplicar L’Hôpital.

Passo 3

Derivamos numerador e denominador:
  • Numerador:
ddxl(xln x - x + 1r) =ln x + 1 - 1 =ln x
  • Denominador:
ddxl((x-1)ln xr) =ln x + x-1x
Pelo Teorema de L’Hôpital,
limxto1^+xln x - x + 1(x-1)ln x =limxto1^+ln xln x + x-1x
Ainda dá 0/0, então aplicamos L’Hôpital de novo.

Passo 4

Derivamos mais uma vez:
  • Numerador:
ddx(ln x)=1x
  • Denominador:
ddxl(ln x + x-1xr) =1x + 1x^2
Logo,
limxto1^+ln xln x + x-1x =limxto1^+1x1x + 1x^2 =limxto1^+1/x(x+1)/x^2 =limxto1^+x^2x(x+1) =limxto1^+xx+1

Passo 5

Basta agora substituir x=1 em xx+1:
11+1=12

Resposta

12

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