Exercício 26. Diagonalize as forma quadráticas, decidindo em cada caso se são positivas, negativas ou indefinidas:
(c) .
Identifique, quando existirem, os pontos de máximo, mínimo ou sela destas formas.
Passo 1
O enunciado pede para diagonalizar a forma quadrática
em (variáveis ), decidir sua natureza (positiva, negativa ou indefinida) e encontrar os pontos de máximo, mínimo ou sela. O conteúdo é diagonalização de forma quadrática via mudança de base e análise do sinal dos coeficientes diagonais.
Passo 2
Vamos escrever como usando . A matriz simétrica é
pois x^2 e y^2 dão 1 nas diagonais, o termo xy contribui com 1/2 em (1,2) e (2,1), o termo -xt dá -1/2 em (1,4) e (4,1), e 2yt dá 1 em (2,4) e (4,2). A coordenada z está ausente, logo há uma linha e coluna nulas.
Passo 3
Para diagonalizar, focamos em (x,y,t). Definimos as combinações ortogonais
a=x+yraiz2, b=x-yraiz2,
que diagonalizam a parte x^2+xy+y^2 em autovalores tfrac32 e tfrac12. Em termos de (a,b,t) obtemos
vemos que os coeficientes diagonais são +tfrac32, +tfrac12, -tfrac5524 e 0. Logo a forma tem dois autovalores positivos, um negativo e um zero. A assinatura é (2,1,1).
Passo 5
Como há autovalores de sinal diferente, a forma é indefinida. O zero na última coordenada indica degenerescência ao longo do eixo z.
dá x=0, y=0, t=0, e z livre. Logo todos os pontos críticos são
(0,0,z,0),;zinR
Passo 7
Em cada ponto crítico Q=0. Como a forma é indefinida, esses pontos não são nem mínimos nem máximos, mas pontos de sela (com direção plana ao longo de z).
Resposta
A forma é indefinida (assinatura (2,1,1)) e os únicos pontos críticos estão na reta (0,0,z,0), todos pontos de sela (sem máximos nem mínimos).