Exercício 26. Diagonalize as forma quadráticas, decidindo em cada caso se são positivas, negativas ou indefinidas:
(c) Q(x, y, z, t)=x^2+y^2+x y-x t+2 y t.
Identifique, quando existirem, os pontos de máximo, mínimo ou sela destas formas.

Passo 1

O enunciado pede para diagonalizar a forma quadrática
Q(x,y,z,t)=x^2+y^2+xy - x,t +2y,t
em R^4 (variáveis x,y,z,t), decidir sua natureza (positiva, negativa ou indefinida) e encontrar os pontos de máximo, mínimo ou sela. O conteúdo é diagonalização de forma quadrática via mudança de base e análise do sinal dos coeficientes diagonais.

Passo 2

Vamos escrever Q como Q(v)=v^TA,v usando v=(x,y,z,t)^T. A matriz simétrica A é
A= 1 & tfrac12 & 0 & -tfrac12 tfrac12 & 1 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 0 -tfrac12 & 1 & 0 & 0 ,
pois x^2 e y^2 dão 1 nas diagonais, o termo xy contribui com 1/2 em (1,2) e (2,1), o termo -xt -1/2 em (1,4) e (4,1), e 2yt 1 em (2,4) e (4,2). A coordenada z está ausente, logo há uma linha e coluna nulas.

Passo 3

Para diagonalizar, focamos em (x,y,t). Definimos as combinações ortogonais
a=x+yraiz2, b=x-yraiz2,
que diagonalizam a parte x^2+xy+y^2 em autovalores tfrac32 e tfrac12. Em termos de (a,b,t) obtemos
Q=32,a^2+12,b^2+traiz2,a-3traiz2,b
Agora completamos quadrados em a e b:
Para a:
32,a^2+traiz2,a =32l(a+t3raiz2r)^2-124,t^2
Para b:
12,b^2-3traiz2,b =12l(b-3raiz22,tr)^2-94,t^2
Somando e lembrando que z não aparece,
Q =32l(a+tfract3raiz2r)^2 +12l(b-tfrac3raiz22tr)^2 -5524,t^2 +0cdot z^2

Passo 4

Da forma
Q=32,U^2+12,V^2-5524,W^2+0cdot z^2,
vemos que os coeficientes diagonais são +tfrac32, +tfrac12, -tfrac5524 e 0. Logo a forma tem dois autovalores positivos, um negativo e um zero. A assinatura é (2,1,1).

Passo 5

Como há autovalores de sinal diferente, a forma é indefinida. O zero na última coordenada indica degenerescência ao longo do eixo z.

Passo 6

Para achar pontos críticos, calculamos nabla Q=0.
partial Qpartial x=2x+y-t, partial Qpartial y=2y+x+2t, partial Qpartial z=0, partial Qpartial t=-x+2y
Resolvendo
2x+y-t=0, x+2y+2t=0, -x+2y=0
x=0, y=0, t=0, e z livre. Logo todos os pontos críticos são
(0,0,z,0),;zinR

Passo 7

Em cada ponto crítico Q=0. Como a forma é indefinida, esses pontos não são nem mínimos nem máximos, mas pontos de sela (com direção plana ao longo de z).

Resposta

A forma é indefinida (assinatura (2,1,1)) e os únicos pontos críticos estão na reta (0,0,z,0), todos pontos de sela (sem máximos nem mínimos).

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