Exercício 26. Diagonalize as forma quadráticas, decidindo em cada caso se são positivas, negativas ou indefinidas:
(b)
.
Identifique, quando existirem, os pontos de máximo, mínimo ou sela destas formas.
(b)
Passo 1
O enunciado nos dá a forma quadrática
em
, pede sua diagonalização (isto é, encontrar variáveis sem termos mistos) e classificar se ela é positiva, negativa ou indefinida. Em seguida, identificar pontos de máximo, mínimo ou sela.
Passo 2
Usamos o método de completar quadrados. Primeiro escrevemos
Passo 3
Definimos a nova variável
Como
, temos
Substituindo em
obtemos
Passo 4
Defina
Então
Passo 5
Para eliminar o termo misto
, faça a rotação
Logo
e consequentemente
Esta é a forma diagonalizada nas variáveis
.
Passo 6
Os coeficientes
,
e
têm sinais diferentes, portanto
é indefinida. A única singularidade crítica é a origem, que se revela ponto de sela (não há nem máximo nem mínimo).
Resposta
A forma fica diagonal em
como
é indefinida e tem apenas ponto de sela na origem.