Exercício 26. Diagonalize as forma quadráticas, decidindo em cada caso se são positivas, negativas ou indefinidas:
(b) Q(x, y, z)=2 x y+y z-3 x z.
Identifique, quando existirem, os pontos de máximo, mínimo ou sela destas formas.

Passo 1

O enunciado nos dá a forma quadrática
Q(x,y,z)=2xy + yz -3xz
em R^3, pede sua diagonalização (isto é, encontrar variáveis sem termos mistos) e classificar se ela é positiva, negativa ou indefinida. Em seguida, identificar pontos de máximo, mínimo ou sela.

Passo 2

Usamos o método de completar quadrados. Primeiro escrevemos
Q = 2xy -3xz + yz = x,(2y -3z) + yz

Passo 3

Definimos a nova variável
u = 2y -3z
Como y = tfracu+3z2, temos
yz = zcdot y = u,z2 + 3z^22
Substituindo em Q obtemos
Q = x,u + u,z2 + 3z^22 = ul(x + z2r) + 3z^22

Passo 4

Defina
v = x + z2
Então
Q = u,v + 3z^22

Passo 5

Para eliminar o termo misto u,v, faça a rotação
p = u+vraiz2, q = u-vraiz2
Logo
u,v = 12l(p^2 - q^2r),
e consequentemente
Q = 12,p^2 ;-;12,q^2 ;+;32,z^2
Esta é a forma diagonalizada nas variáveis (p,q,z).

Passo 6

Os coeficientes tfrac12, -tfrac12 e tfrac32 têm sinais diferentes, portanto Q é indefinida. A única singularidade crítica é a origem, que se revela ponto de sela (não há nem máximo nem mínimo).

Resposta

A forma fica diagonal em (p,q,z) como
Q = 12p^2 - 12q^2 + 32z^2,
é indefinida e tem apenas ponto de sela na origem.

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