Questão 10. (1,5) Disserte sobre o tema Topologia na Reta. Nesta questão, sugerimos que sejam abordados os seguintes tópicos:
Definições e exemplos, Conjuntos abertos e conjuntos fechados, Conjuntos conexos. Pontos de acumulação e Conjuntos compactos.

Passo 1

O enunciado pede uma dissertação sobre topologia na reta, abrangendo definições básicas (espaço topológico e topologia usual em R), exemplos de conjuntos abertos e fechados, conjuntos conexos, pontos de acumulação e conjuntos compactos. Para isso vamos usar conceitos de análise real: topologia usual, intervalos em R, cobertura aberta e propriedades de limites.

Passo 2

Definimos um espaço topológico como o par (X,tau) em que tau é uma família de subconjuntos de X tal que (i) emptysetintau e Xintau, (ii) qualquer união arbitrária de elementos de tau pertence a tau, (iii) interseção finita de elementos de tau pertence a tau.
A topologia usual em R é
tau=lUsubseteqRmid forall xin U;existsvarepsilon>0colon (x-varepsilon,x+varepsilon)subseteq Ur
Como exemplo, todo intervalo aberto (a,b) está em tau, pois em cada ponto xin(a,b) podemos tomar varepsilon=minx-a,b-x.

Passo 3

Um conjunto UsubseteqR é dito aberto se Uintau. Um conjunto FsubseteqR é fechado se seu complementar F^c=Rsetminus F for aberto.
Exemplo clássico: o intervalo fechado [a,b] é fechado porque
[a,b]^c = (-infty,a)cup(b,+infty)
é união de intervalos abertos. Note que emptyset e R são simultaneamente abertos e fechados (clopen).

Passo 4

Dizemos que CsubseteqR é conexo se não existe uma decomposição C=Ucup V com U,V abertos em R, Ucap Cneqemptyset, Vcap Cneqemptyset e (Ucap C)cap(Vcap C)=emptyset. Em outras palavras, não dá para separar C em dois pedaços abertos e disjuntos.
Teorema em R: os únicos conjuntos conexos são exatamente os intervalos (podendo ser abertos, fechados, semiabertos ou degenerados num ponto).

Passo 5

Um ponto xinR é ponto de acumulação de AsubseteqR se todo intervalo aberto centrado em x contém algum ponto de A diferente de x. O conjunto de todos os pontos de acumulação de A é denotado por A'. O fecho de A, A, é definido por
A=Acup A'
Um resultado importante é que A é fechado se e somente se A=A.

Passo 6

Dizemos que KsubseteqR é compacto se de toda cobertura de K por abertos de R existe uma subcobertura finita. No caso da topologia usual em R, o Teorema de Heine-Borel assegura que
K é compacto Long<=ftrightarrow K é fechado e limitado éé
Exemplo típico: o intervalo [a,b] é compacto pois é fechado e fica contido em [-M,M] com M=max|a|,|b|.

Resposta

A dissertação apresentou o conceito geral de espaço topológico e a topologia usual na reta, definiu conjuntos abertos e fechados com exemplos, caracterizou conjuntos conexos como intervalos, explicou pontos de acumulação e fecho de um conjunto, e finalmente tratou de conjuntos compactos via cobertura aberta e pelo Teorema de Heine-Borel em R.

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