Questão 10. Disserte sobre o tema Topologia na Reta. Nesta questão, sugerimos que sejam abordados os seguintes tópicos:
Definições e exemplos, Conjuntos abertos e conjuntos fechados, Conjuntos conexos. Pontos de acumulação e Conjuntos compactos.
Passo 1
O enunciado pede uma dissertação sobre topologia na reta, abrangendo definições básicas (espaço topológico e topologia usual em ), exemplos de conjuntos abertos e fechados, conjuntos conexos, pontos de acumulação e conjuntos compactos. Para isso vamos usar conceitos de análise real: topologia usual, intervalos em , cobertura aberta e propriedades de limites.
Passo 2
Definimos um espaço topológico como o par em que é uma família de subconjuntos de tal que (i) e , (ii) qualquer união arbitrária de elementos de pertence a , (iii) interseção finita de elementos de pertence a .
A topologia usual em é
Como exemplo, todo intervalo aberto está em , pois em cada ponto podemos tomar .
Passo 3
Um conjunto é dito aberto se . Um conjunto é fechado se seu complementar for aberto.
Exemplo clássico: o intervalo fechado é fechado porque
é união de intervalos abertos. Note que e são simultaneamente abertos e fechados (clopen).
Passo 4
Dizemos que é conexo se não existe uma decomposição com abertos em , , e . Em outras palavras, não dá para separar em dois pedaços abertos e disjuntos.
Teorema em : os únicos conjuntos conexos são exatamente os intervalos (podendo ser abertos, fechados, semiabertos ou degenerados num ponto).
Passo 5
Um ponto é ponto de acumulação de se todo intervalo aberto centrado em contém algum ponto de diferente de . O conjunto de todos os pontos de acumulação de é denotado por . O fecho de , , é definido por
A=Acup A'
Um resultado importante é que A é fechado se e somente se A=A.
Passo 6
Dizemos que KsubseteqR é compacto se de toda cobertura de K por abertos de R existe uma subcobertura finita. No caso da topologia usual em R, o Teorema de Heine-Borel assegura que
K é compacto Long<=ftrightarrow K é fechado e limitado éé
Exemplo típico: o intervalo [a,b] é compacto pois é fechado e fica contido em [-M,M] com M=max|a|,|b|.
Resposta
A dissertação apresentou o conceito geral de espaço topológico e a topologia usual na reta, definiu conjuntos abertos e fechados com exemplos, caracterizou conjuntos conexos como intervalos, explicou pontos de acumulação e fecho de um conjunto, e finalmente tratou de conjuntos compactos via cobertura aberta e pelo Teorema de Heine-Borel em R.