Calcule:

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxtoinftyx^3+3x-12x^2+x+1.
O conteúdo é limites de funções racionais quando x tende a infinito.

Passo 2

Uma forma prática de analisar limites de funções racionais é comparar os graus de polinômios no numerador e no denominador:
  • Se o grau do numerador for maior que o do denominador, o limite é infinito (com o sinal determinado pelos coeficientes líderes).
  • Se forem iguais, o limite é a razão dos coeficientes líderes.
  • Se o grau do numerador for menor, o limite é zero.

Passo 3

Aqui o numerador tem grau 3 e o denominador grau 2, então esperamos um crescimento infinito. Para ver isso mais claramente, dividimos tudo por x^2, o maior grau do denominador:
x^3+3x-12x^2+x+1 =x^3/x^2 + 3x/x^2 -1/x^22x^2/x^2 + x/x^2 +1/x^2 =x + 3x - 1x^22 + 1x + 1x^2

Passo 4

Quando xtoinfty, temos
tfrac3xto0, tfrac1x^2to0 e tfrac1xto0.
Logo a expressão acima se comporta como
x + 0 - 02 + 0 + 0 = x2,
e como x2to +infty, concluímos que o limite original também diverge para +infty.

Resposta

O limite é +infty.

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