Construa o gráfico das funções trigonométricas a seguir, dando o domínio, a imagem e o período de cada uma:
f(x)=cos (x2)

Passo 1

O enunciado pede para construirmos o gráfico de f(x)=cos!l(tfracx2r) e determinar seu domínio, sua imagem e seu período. O conteúdo é transformação horizontal de funções trigonométricas, e vamos aplicar que para cos(bx) vale período T=tfrac2pi|b|.

Passo 2

Para o domínio, observamos que a função cosseno está definida para todo xinR. Logo
Domínio: R.

Passo 3

A amplitude de cos é 1, logo seus valores oscilam entre -1 e 1. Assim
Imagem: l[-1,1r].

Passo 4

Para achar o período, identificamos b=tfrac12 em cosl(tfracx2r). O período de cos(bx) é
T ;=;2pi|b|;=;2pitfrac12;=;4pi

Passo 5

Agora vamos esboçar um ciclo em [0,4pi]. Alguns pontos-chaves são:
x =0 Rightarrow f(0)=cos0=1
x = pi Rightarrow f(pi)=cosl(tfracpi2r)=0
x = 2pi Rightarrow f(2pi)=cos(pi)=-1
x = 3pi Rightarrow f(3pi)=cosl(tfrac3pi2r)=0
x = 4pi Rightarrow f(4pi)=cos(2pi)=1
Ligando esses pontos com a forma típica de cosseno “esticado” horizontalmente por fator 2, obtemos uma onda que vai de 1 em x=0 até -1 em x=2pi e volta a 1 em x=4pi. Em seguida esse padrão se repete a cada 4pi.

Resposta

Domínio: R
Imagem: l[-1,1r]
Período: 4pi
Gráfico: ciclo em [0,4pi] passando por
(0,1),;(pi,0),;(2pi,-1),;(3pi,0),;(4pi,1)
e se repetindo de forma periódica.

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