Exercício 3

(1,5 ponto) a) Seja C uma curva de Jordan de classe C^1 em R^2 e R o seu interior. Mostre que, se f, g: barR R forem funções de classe C^2, então
ointC(-f partial gpartial y d x+f partial gpartial x d y)=integral duplaR(f De<a g+nabla f nabla g) d x d y
em que De<a g=partial^2 gpartial x^2+partial^2 gpartial y^2, nabla f=(partial fpartial x, partial fpartial y) e nabla g=(partial gpartial x, partial gpartial y).
Use o resultado acima para mostrar que, se u: barR R é uma função de classe C^2 e é tal que:
i) De<a u(x, y)=0, para todo (x, y) em R,
ii) u(x, y)=0, para todo (x, y) in C=partial R, então u(x, y)=0, para todo (x, y) in barR.
(1 ponto) b) Seja C uma curva de Jordan de classe C^1 em R^2 e R o seu interior. Mostre que
Área(R)=ointC x d y=-ointC y d x
Use uma das integrais de linha acima para calcular a área de R=(x, y) in R^2 ;(xa)^2+(yb)^2<1.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas.
Em (a) mostraremos a identidade de Green–Gauss
ointCl(-f,gy,dx + f,gx,dyr) =integral duplaRl(f,De<a g + nabla fcdotnabla gr),dx,dy,
para f,gin C^2(bar R), e em seguida usá-la com f=g=u, onde u é harmônica em R e nula na fronteira, para concluir que uequiv0 em bar R.
Em (b) aplicaremos Green com escolhas simples de P,Q para mostrar
Área(R)=ointCx,dy=-ointCy,dx Á
e, usando a primeira integral de linha, calcularemos a área da elipse (x,y):x^2/a^2+y^2/b^2<1.

Passo 2

Se definirmos
P(x,y)=-f(x,y),partial gpartial y(x,y), Q(x,y)=f(x,y),partial gpartial x(x,y),
o Teorema de Green diz
ointCP,dx + Q,dy =integral duplaRl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dx,dy
Agora
partial Qpartial x =partialpartial xl(f,gxr) =fx,gx+f,gxx, partial Ppartial y =partialpartial yl(-f,gyr) =-l(fy,gy+f,gyyr)
Logo
partial Qpartial x-partial Ppartial y =fxgx+fygy+f,(gxx+gyy) =nabla fcdotnabla g + f,De<a g
Isso prova a identidade pedida.

Passo 3

Tomando f=g=u na fórmula acima, obtemos
ointCl(-u,uy,dx + u,ux,dyr) =integral duplaRl(u,De<a u + |nabla u|^2r),dx,dy
Como De<a u=0 em R e u=0 em C, o lado esquerdo é zero e rest
a
integral duplaR|nabla u|^2,dx,dy=0
o que implica nabla uequiv0 em R e, portanto, u é constante em R.
Pela condição de contorno u|C=0, conclui-se uequiv0 em bar R.

Passo 4

Para area usamos Green com, por exemplo, P=0, Q=x. Então
ointCx,dy =integral duplaRl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dx,dy =integral duplaR1,dx,dy =Área(R) Á
Analogamente, escolhendo P=-y, Q=0 obtém-se
-ointCy,dx=Área(R)Á.

Passo 5

Na elipse parametrize por
x(t)=acos t, y(t)=bsin t, tin[0,2pi]
Então
Área =ointCx,dy =integral0^2piacos t;l(bcos t,dtr) =abintegral0^2picos^2t,dt =ab,pi Á

Resposta

(a) Da identidade de Green segue que a única solução harmônica com contorno nulo é uequiv0 em bar R.
(b) Área(R)=ointCx,dy=pi,a,bÁ.

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