Exercício 3
(1,5 ponto) a) Seja
uma curva de Jordan de classe
em
e
o seu interior. Mostre que, se
forem funções de classe
, então
em que
e
.
Use o resultado acima para mostrar que, se
é uma função de classe
e é tal que:
i)
, para todo
em
,
ii)
, para todo
, então
, para todo
.
(1 ponto) b) Seja
uma curva de Jordan de classe
em
e
o seu interior. Mostre que
Use uma das integrais de linha acima para calcular a área de
.
Use o resultado acima para mostrar que, se
i)
ii)
(1 ponto) b) Seja
Passo 1
O enunciado pede duas coisas.
Em (a) mostraremos a identidade de Green–Gauss
Em (a) mostraremos a identidade de Green–Gauss
para
, e em seguida usá-la com
, onde
é harmônica em
e nula na fronteira, para concluir que
em
.
Em (b) aplicaremos Green com escolhas simples de para mostrar
Em (b) aplicaremos Green com escolhas simples de
e, usando a primeira integral de linha, calcularemos a área da elipse
.
Passo 2
Se definirmos
o Teorema de Green diz
Agora
Logo
Isso prova a identidade pedida.
Passo 3
Tomando
na fórmula acima, obtemos
Como
em
e
em
, o lado esquerdo é zero e rest
a
o que implica
em
e, portanto,
é constante em
.
Pela condição de contorno , conclui-se
em
.
Pela condição de contorno
Passo 4
Para area usamos Green com, por exemplo,
,
. Então
Analogamente, escolhendo
,
obtém-se
.
Passo 5
Na elipse parametrize por
Então
Resposta
(a) Da identidade de Green segue que a única solução harmônica com contorno nulo é
em
.
(b) .
(b)