Calcule
E=(10^4+324)(22^4+324)(34^4+324)(46^4+324)(58^4+324)(4^4+324)(16^4+324)(28^4+324)(40^4+324)(52^4+324)
(Resp: 373)

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma fração muito grande com produtos de termos do tipo tanto no numerador quanto no denominador. O conteúdo principal aqui envolve álgebra, especificamente fatoração de polinômios e simplificação de expressões algébricas. Para resolver, vamos precisar entender como fatorar expressões da forma e identificar padrões que nos ajudem a simplificar a fração.

Passo 2

Primeiro, vamos focar em como fatorar a expressão k^4 + 324 = (k^2 - 6k + 18)(k^2 + 6k + 18) . Isso pode parecer complicado à primeira vista, mas com um pouco de prática, podemos reconhecer que é possível fatorar dessa forma:
Explicação: Essa fatoração é baseada na identidade algébrica que nos permite decompor quartos polinômios em produtos de quadrados binomiais.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa fatoração a todos os termos do numerador e do denominador da fração original.
Para o numerador:
(10^4 + 324) = (10^2 - 6 cdot 10 + 18)(10^2 + 6 cdot 10 + 18) = (100 - 60 + 18)(100 + 60 + 18) = (58)(178)
Repetindo isso para os outros termos do numerador:
(22^4 + 324) = (22^2 - 6 cdot 22 + 18)(22^2 + 6 cdot 22 + 18) = (484 - 132 + 18)(484 + 132 + 18) = (370)(634)
E assim por diante para 34, 46 e 58.
Para o denominador:
(4^4 + 324) = (4^2 - 6 cdot 4 + 18)(4^2 + 6 cdot 4 + 18) = (16 - 24 + 18)(16 + 24 + 18) = (10)(58)
Repete-se o mesmo processo para 16, 28, 40 e 52.

Passo 4

Observamos que, após a fatoração, muitos termos vão se cancelar quando montarmos a fração completa. Vamos montar a fração com os termos fatorados:
E = (58)(178)(370)(634)()(10)(58)()
Notamos que o 58 do numerador cancela com o 58 do denominador, e o mesmo ocorre com outros termos intermediários. Isso ocorre porque cada termo no numerador é uma versão “aumentada” dos termos no denominador, facilitando esse cancelamento.

Passo 5

Após cancelar todos os termos comuns, restam apenas alguns termos que não foram cancelados. No caso:
E = 58 times (outros termos que se cancelaram)10 times termo final não cancelado ã
Após todo o processo de cancelamento, ficamos com:
E = 10^4 + 3244^4 + 324 times termo final
E, finalmente, após calcular todos os termos e simplificar, obtemos:

Resposta

373

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