Seja x=3+raiz2. Calcule o valor da expressão (x^4+49)(x^6+343)x^5.
(Resp: 1980)

Passo 1

Temos x = 3 + raiz2 e queremos calcular (x^4 + 49)(x^6 + 343)x^5. Para isso vamos usar as propriedades de conjugado, soma e produto de números da forma a + braizc.

Passo 2

Definindo y = 3 - raiz2 como o conjugado de x, temos x+y = 6 e xy = 7.

Passo 3

Observamos que 49 = 7^2 = (xy)^2 e 343 = 7^3 = (xy)^3. Então:
x^4 + 49 = x^4 + (xy)^2 = x^2(x^2 + y^2),
x^6 + 343 = x^6 + (xy)^3 = x^3(x^3 + y^3)

Passo 4

Logo, o numerador fica
(x^4+49)(x^6+343) = x^2(x^2+y^2) cdot x^3(x^3+y^3) = x^5(x^2+y^2)(x^3+y^3)
Dividindo por x^5 resulta em
(x^2+y^2)(x^3+y^3)

Passo 5

Agora calculamos x^2+y^2 e x^3+y^3 usando fórmulas de soma de potências:
Para soma de quadrados:
x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = 6^2 - 2cdot7 = 36 - 14 = 22
Para soma de cubos:
x^3 + y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y) = 6^3 - 3cdot7cdot6 = 216 - 126 = 90

Passo 6

Multiplicando:
(x^2+y^2)(x^3+y^3) = 22 cdot 90 = 1980

Resposta

1980

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