Determine os extremos relativos de f, se houver algum.
f(x, y)=x^3+y^3-18 x y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os extremos relativos da função . Isso faz parte de Cálculo Multivariável, onde estudamos como as funções se comportam em vários pontos. Para resolver isso, vamos usar derivas parciais, encontrar os pontos críticos e aplicar o teste da segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de fx = partial fpartial x = 3x^2 - 18y em relação a fy = partial fpartial y = 3y^2 - 18x e . As derivadas parciais nos mostram como a função muda quando a gente varia apenas uma das variáveis.
  • Derivada parcial em relação a :
  • Derivada parcial em relação a :

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Esses pontos ocorrem onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero. Então, resolvemos o sistema:
3x^2 - 18y = 0 3y^2 - 18x = 0
Simplificando as equações:
x^2 = 6y y^2 = 6x
Vamos substituir y = x^26 da primeira equação na segunda:
(x^26)^2 = 6x implies x^436 = 6x implies x^4 = 216x implies x^3 = 216 implies x = 6
6^2 = 6y implies 36 = 6y implies y = 6
Substituindo na primeira equação:
Também, considerando (já que ), temos outro ponto crítico: .
Então, os pontos críticos são e .

Passo 4

Para determinar a natureza desses pontos críticos (se são máximos, mínimos ou pontos de sela), vamos calcular as segundas derivadas parciais:
fxx = partial^2 fpartial x^2 = 6x
fyy = partial^2 fpartial y^2 = 6y
fxy = partial^2 fpartial x partial y = -18

Passo 5

Agora, aplicamos o Teste da Segunda Derivada. Calculamos o discriminante D = fxx cdot fyy - (fxy)^2 :
fxx = 6 cdot 6 = 36
Vamos calcular fyy = 6 cdot 6 = 36 para cada ponto crítico:
  1. Para D = 36 cdot 36 - (-18)^2 = 1296 - 324 = 972 > 0 :
    fxx = 6 cdot 6 = 36
    fyy = 6 cdot (-6) = -36
    D = 36 cdot (-36) - (-18)^2 = -1296 - 324 = -1620 < 0
    Como e , esse ponto é um mínimo relativo.
  2. Para :
    Como , esse ponto é um ponto de sela.

Resposta

A função possui um mínimo relativo no ponto e um ponto de sela em . Portanto, o único extremo relativo é o mínimo no ponto .

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