Determine os extremos relativos de
, se houver algum.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os extremos relativos da função
. Isso faz parte de Cálculo Multivariável, onde estudamos como as funções se comportam em vários pontos. Para resolver isso, vamos usar derivas parciais, encontrar os pontos críticos e aplicar o teste da segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. As derivadas parciais nos mostram como a função muda quando a gente varia apenas uma das variáveis.
-
Derivada parcial em relação a
: -
Derivada parcial em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Esses pontos ocorrem onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero. Então, resolvemos o sistema:
Simplificando as equações:
Vamos substituir
da primeira equação na segunda:
Substituindo
na primeira equação:
Também, considerando
(já que
), temos outro ponto crítico:
.
Então, os pontos críticos são
e
.
Passo 4
Para determinar a natureza desses pontos críticos (se são máximos, mínimos ou pontos de sela), vamos calcular as segundas derivadas parciais:
Passo 5
Agora, aplicamos o Teste da Segunda Derivada. Calculamos o discriminante
:
Vamos calcular
para cada ponto crítico:
-
Para
: Comoe , esse ponto é um mínimo relativo. -
Para
: Como, esse ponto é um ponto de sela.
Resposta
A função
possui um mínimo relativo no ponto
e um ponto de sela em
. Portanto, o único extremo relativo é o mínimo no ponto
.