Seja
não nulo tal que
. Determine o valor da expressão
.
(Resp: 0)
(Resp: 0)
Passo 1
O enunciado dá que temos um número complexo não nulo
satisfazendo
, e pede o valor de
. Vamos usar teoria de raízes da unidade e identidades em
.
Passo 2
Da equação
segue que
Isso gera as equações
cujo discriminante é
, levando às raízes de módulo 1. Em particular, todas satisfazem
.
Passo 3
Como
, podemos reduzir potências módulo 12:
Logo
Passo 4
Note que para todas as raízes obtidas temos também
pois
ou
. Usando isso,
e portanto
Passo 5
Restou calcular
. Mas da identidade inicial temos
logo
Multiplicando por
obtemos
Assim a expressão desejada se anula.
Passo 6
Assim, o resultado é 0.
Resposta
0