Seja x in C não nulo tal que (x+1x)^2=3. Determine o valor da expressão x^64-x^54+x^44.
(Resp: 0)

Passo 1

O enunciado dá que temos um número complexo não nulo x satisfazendo (x + tfrac1x)^2 = 3, e pede o valor de x^64 - x^54 + x^44. Vamos usar teoria de raízes da unidade e identidades em x + 1/x.

Passo 2

Da equação (x + tfrac1x)^2 = 3 segue que
x + 1x = pmraiz3
Isso gera as equações
x^2 mp raiz3,x + 1 = 0,
cujo discriminante é 3 - 4 = -1, levando às raízes de módulo 1. Em particular, todas satisfazem x^12 = 1.

Passo 3

Como x^12 = 1, podemos reduzir potências módulo 12:
64 equiv 4 pmod12,
54 equiv 6 pmod12,
44 equiv 8 pmod12
Logo
x^64 - x^54 + x^44 = x^4 - x^6 + x^8

Passo 4

Note que para todas as raízes obtidas temos também
x^6 = -1
pois x = e^pm ipi/6 ou e^pm i5pi/6. Usando isso,
x^8 = x^6 cdot x^2 = -x^2,
e portanto
x^4 - x^6 + x^8 = x^4 - (-1) + (-x^2) = x^4 + 1 - x^2

Passo 5

Restou calcular x^4 + 1 - x^2. Mas da identidade inicial temos
(x + tfrac1x)^2 = x^2 + 2 + tfrac1x^2 = 3
logo
x^2 + tfrac1x^2 = 1
Multiplicando por x^2 obtemos
x^4 + 1 = x^2 Longrightarrow x^4 - x^2 + 1 = 0
Assim a expressão desejada se anula.

Passo 6

Assim, o resultado é 0.

Resposta

0

Exercícios relacionados