Calcule:
(10 pontos)
se
(10 pontos)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada de $ f(x) = \tan(x) \cdot \ln\left(x^{2}\right) $. Vamos trabalhar com cálculo diferencial, especificamente usando a regra do produto e propriedades das funções trigonométricas e logarítmicas para achar $ f’(x) $.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes que compõem a função $ f(x) $. Temos duas funções multiplicadas:
- $ u(x) = \tan(x) $
- $ v(x) = \ln\left(x^{2}\right) $
Para derivar $ f(x) = u(x) \cdot v(x) $, vamos usar a regra do produto, que diz que:
Passo 3
Vamos calcular $ u’(x) $ e $ v’(x) $ individualmente.
Primeiro, $ u(x) = \tan(x) $. A derivada de $ \tan(x) $ é $ \sec^{2}(x) $:
Passo 4
Agora, vamos para $ v(x) = \ln\left(x^{2}\right) $. Podemos simplificar usando a propriedade dos logaritmos: $ \ln(a^{b}) = b \ln(a) $. Então:
Agora, derivamos $ v(x) $:
Passo 5
Com $ u’(x) $ e $ v’(x) $ calculados, aplicamos a regra do produto:
Substituindo os valores:
Passo 6
Podemos fatorar o 2 para simplificar a expressão:
Ou ainda:
Resposta
A derivada de $ f(x) = \tan(x) \cdot \ln\left(x^{2}\right) $ é: