Calcule:
(10 pontos) f^prime(x) se f(x)=tan (x) cdot ln (x^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada de $ f(x) = \tan(x) \cdot \ln\left(x^{2}\right) $. Vamos trabalhar com cálculo diferencial, especificamente usando a regra do produto e propriedades das funções trigonométricas e logarítmicas para achar $ f’(x) $.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes que compõem a função $ f(x) $. Temos duas funções multiplicadas:
  • $ u(x) = \tan(x) $
  • $ v(x) = \ln\left(x^{2}\right) $
Para derivar $ f(x) = u(x) \cdot v(x) $, vamos usar a regra do produto, que diz que:
f(x)

Passo 3

Vamos calcular $ u’(x) $ e $ v’(x) $ individualmente.
Primeiro, $ u(x) = \tan(x) $. A derivada de $ \tan(x) $ é $ \sec^{2}(x) $:
u'(x)

Passo 4

Agora, vamos para $ v(x) = \ln\left(x^{2}\right) $. Podemos simplificar usando a propriedade dos logaritmos: $ \ln(a^{b}) = b \ln(a) $. Então:
v(x) = ln(x^2)
Agora, derivamos $ v(x) $:
ln(a^b) = b ln(a)

Passo 5

Com $ u’(x) $ e $ v’(x) $ calculados, aplicamos a regra do produto:
u'(x)
Substituindo os valores:
v'(x)

Passo 6

Podemos fatorar o 2 para simplificar a expressão:
f'(x) = 2 sec^2(x) ln(x) + 2 tan(x)x
Ou ainda:
f'(x) = 2 [ sec^2(x) ln(x) + tan(x)x ]

Resposta

A derivada de $ f(x) = \tan(x) \cdot \ln\left(x^{2}\right) $ é:
f(x) = tan(x) cdot ln(x^2)

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