Seja f uma função dada por f(x)=x^2x^2-4. Determine:
(3 pontos) Os pontos críticos de f, caso existam.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a função f(x)=x^2x^2-4 e queremos achar os pontos críticos, ou seja, os valores de x onde f' (x)=0 ou onde f' não está definida. Para isso vamos precisar usar a regra do quociente e depois analisar zeros e indefinições da derivada.

Passo 2

Vamos aplicar a regra do quociente. Sejam u(x)=x^2 e v(x)=x^2-4, com u'(x)=2x e v'(x)=2x. Então
f'(x)=u'(x)v(x)-u(x)v'(x)[v(x)]^2=2x(x^2-4)-x^2(2x)(x^2-4)^2
Simplificando o numerador:
2x(x^2-4)-2x,x^2=2x^3-8x-2x^3=-8x,
portanto
f'(x)=-8x(x^2-4)^2

Passo 3

Analisando a derivada: ela zera quando o numerador é zero, ou seja, -8x=0 x=0. Os pontos x=pm2 tornam f' indefinida, mas também não pertencem ao domínio de f. Logo o único ponto crítico é x=0.

Resposta

O único ponto crítico de f é x=0, com valor f(0)=0.

Exercícios relacionados