Seja f uma função dada por f(x)=x^2x^2-4. Determine:
(3 pontos) Os pontos de inflexão do gráfico de f.

Passo 1

Então, a gente tem o exercício de encontrar os pontos de inflexão do gráfico da função $ f(x) = \frac{x{2}}{x{2}-4} $. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo, mais especificamente relacionado a derivadas e concavidade das funções. Para resolver isso, vamos precisar calcular a segunda derivada da função e analisar onde ela muda de sinal.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de $ f(x) $. A derivada nos ajuda a entender a taxa de variação da função. Usamos a regra do quociente para derivar $ f(x) = \frac{x{2}}{x{2}-4} $:
f(x)

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada $ f’’(x) $, que nos ajuda a entender a concavidade da função. Aplicamos novamente a regra do quociente na primeira derivada:
f''(x)
Simplificando o numerador:
f''(x) = ddx( -8x(x^2-4)^2 ) = -8(x^2-4)^2 - (-8x)(2)(x^2-4)(2x)(x^2-4)^4
Portanto,
-8(x^2-4)^2 + 32x^2(x^2-4) = (x^2-4)(-8(x^2-4) + 32x^2) = (x^2-4)(24x^2 + 32)

Passo 4

Para encontrar os pontos de inflexão, procuramos onde $ f’’(x) = 0 $ ou onde $ f’’(x) $ é indefinida.
  1. Quando $ f’’(x) = 0 $:
f''(x) = 0
Isso não tem solução real, já que $ x^{2} $ não pode ser negativo.
  1. Quando $ f’’(x) $ é indefinida:
O denominador $ (x{2}-4){3} = 0 $ quando $ x = \pm 2 $. Mas nesses pontos, a função original $ f(x) $ também não está definida (são assíntotas verticais), então não consideramos como pontos de inflexão.

Resposta

O gráfico de $ f $ não possui pontos de inflexão.

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