Seja
uma função dada por
. Determine:
(3 pontos) Os pontos de inflexão do gráfico de
.
(3 pontos) Os pontos de inflexão do gráfico de
Passo 1
Então, a gente tem o exercício de encontrar os pontos de inflexão do gráfico da função $ f(x) = \frac{x{2}}{x{2}-4} $. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo, mais especificamente relacionado a derivadas e concavidade das funções. Para resolver isso, vamos precisar calcular a segunda derivada da função e analisar onde ela muda de sinal.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de $ f(x) $. A derivada nos ajuda a entender a taxa de variação da função. Usamos a regra do quociente para derivar $ f(x) = \frac{x{2}}{x{2}-4} $:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada $ f’’(x) $, que nos ajuda a entender a concavidade da função. Aplicamos novamente a regra do quociente na primeira derivada:
Simplificando o numerador:
Portanto,
Passo 4
Para encontrar os pontos de inflexão, procuramos onde $ f’’(x) = 0 $ ou onde $ f’’(x) $ é indefinida.
- Quando $ f’’(x) = 0 $:
Isso não tem solução real, já que $ x^{2} $ não pode ser negativo.
- Quando $ f’’(x) $ é indefinida:
O denominador $ (x{2}-4){3} = 0 $ quando $ x = \pm 2 $. Mas nesses pontos, a função original $ f(x) $ também não está definida (são assíntotas verticais), então não consideramos como pontos de inflexão.
Resposta
O gráfico de $ f $ não possui pontos de inflexão.