Calcule as 10 primeiras somas parcias das séries. Parece que a série é convergente ou divergente?
(a)
(b)
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado pede para calcular as 10 primeiras somas parciais
das duas séries (a)
e (b)
, e em seguida julgar se cada série parece convergir ou divergir.
Passo 2
Para a série (a) notamos que
é uma progressão geométrica de primeiro termo
e razão
A soma parcial
de uma PG é dada por
Substituindo
e
, obtemos
Passo 3
Aplicando
para
:
Passo 4
Como
quando
, temos
. Logo a série (a) é convergente e seu valor é
.
Passo 5
Para a série (b) note que
Logo a soma parcial é
onde
é o
-ésimo número harmônico.
Passo 6
Calculando numericamente
para
até
, usando
:
Passo 7
Os valores de
para (b) aumentam sem limite conforme
cresce. Portanto a série (b) é divergente.
Resposta
(a) As 10 primeiras somas parciais são aproximadamente
. A série converge para
.
(b) As 10 primeiras somas parciais são aproximadamente
. A série diverge.
(b) As 10 primeiras somas parciais são aproximadamente