Calcule as 10 primeiras somas parcias das séries. Parece que a série é convergente ou divergente?
(a) sumn=1^infty 103^n
(b) sumn=1^infty nn+1

Passo 1

O enunciado pede para calcular as 10 primeiras somas parciais
Sk = sumn=1^k an
das duas séries (a) sumn=1^infty 103^n e (b) sumn=1^infty nn+1, e em seguida julgar se cada série parece convergir ou divergir.

Passo 2

Para a série (a) notamos que an = 103^n é uma progressão geométrica de primeiro termo
a1 = 103
e razão
r = 13
A soma parcial Sk de uma PG é dada por
Sk = a1 ,1-r^k1-r
Substituindo a1=tfrac103 e r=tfrac13, obtemos
Sk = 10/31-tfrac13l(1-(tfrac13)^kr) = 10/32/3l(1-(tfrac13)^kr) =5l(1-l(tfrac13r)^kr)

Passo 3

Aplicando Sk=5l(1-(tfrac13)^kr) para k=1,2,dots,10:
S1 &=5l(1-tfrac13r)=tfrac103approx3,3333, S2 &=5l(1-tfrac19r)=tfrac409approx4,4444, S3 &=5l(1-tfrac127r)=tfrac13027approx4,8148, S4 &=5l(1-tfrac181r)=tfrac40081approx4,9383, S5 &=5l(1-tfrac1243r)=tfrac1210243approx4,9774, S6 &=5l(1-tfrac1729r)=tfrac3640729approx4,9925, S7 &=5l(1-tfrac12187r)approx4,9975, S8 &=5l(1-tfrac16561r)approx4,9992, S9 &=5l(1-tfrac119683r)approx4,9997, S10&=5l(1-tfrac159049r)approx4,9999

Passo 4

Como l(tfrac13r)^kto0 quando ktoinfty, temos Skto5. Logo a série (a) é convergente e seu valor é 5.

Passo 5

Para a série (b) note que
nn+1 =1 - 1n+1
Logo a soma parcial é
Sk = sumn=1^kl(1 - 1n+1r) = sumn=1^k 1 ;-;sumn=1^k1n+1 = k ;-;l(Hk+1-1r) = k+1 - Hk+1,
onde Hm é o m-ésimo número harmônico.

Passo 6

Calculando numericamente Sk = k+1 - Hk+1 para k=1 até 10, usando Hm=sumj=1^mtfrac1j:
S1 &=1+1 - H2 =2 - l(1+tfrac12r)=tfrac12approx0,5, S2 &=3 - H3 =3 - l(1+tfrac12+tfrac13r)approx1,1667, S3 &approx1,9167, S4approx2,7167, S5approx3,5500, S6&approx4,4071, S7approx5,2821, S8approx6,1710, S9&approx7,0710, S10approx7,9801

Passo 7

Os valores de Sk para (b) aumentam sem limite conforme k cresce. Portanto a série (b) é divergente.

Resposta

(a) As 10 primeiras somas parciais são aproximadamente
3,3333,;4,4444,;4,8148,;4,9383,;4,9774,;4,9925,;4,9975,;4,9992,;4,9997,;4,9999. A série converge para 5.
(b) As 10 primeiras somas parciais são aproximadamente
0,5,;1,1667,;1,9167,;2,7167,;3,55,;4,4071,;5,2821,;6,1710,;7,0710,;7,9801. A série diverge.

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