Calcule 3 i^{3}+i^{2}+i^{11}-i^{18}

Escolha uma opção:

◯ C. -4
◯ a. -4 i
◯ b. 4+4 i
◯ d. 4 i
◯ e. 4

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o valor da expressão 3 i^{3}+i^{2}+i^{11}-i^{18}. Informações relevantes dadas: os símbolos i indicam a unidade imaginária (isto é, i^{2}=-1) e as potências de i são o que precisamos manipular. O objetivo final é obter um número complexo na forma simplificada.

Passo 2

Fato fundamental (útil para resolver): as potências de i são cíclicas de período 4. Vou escrever a sequência básica:
i^{0}=1,\quad i^{1}=i,\quad i^{2}=-1,\quad i^{3}=-i,\quad i^{4}=1,
e assim por diante. Em geral, para qualquer inteiro n vale
i^{n}=i^{r}\quad\text{onde }r\text{ é o resto da divisão de }n\text{ por }4.éã
Esse é o truque prático: reduzir o expoente módulo 4.

Passo 3

Calcular i^{2} e i^{3} usando a tabela acima:
i^{2}=-1, \qquad i^{3}=-i.
Expliquei isto porque i^{3}=i^{2}\cdot i=(-1)\cdot i=-i.

Passo 4

Calcular i^{11} reduzindo o expoente módulo 4. Dividindo 11 por 4 temos 11=4\cdot2+3, portanto o resto é 3. Assim
i^{11}=i^{3}=-i.

Passo 5

Calcular i^{18} reduzindo o expoente módulo 4. Dividindo 18 por 4 temos 18=4\cdot4+2, portanto o resto é 2. Assim
i^{18}=i^{2}=-1.

Passo 6

Substituir todos os resultados na expressão original e simplificar passo a passo:
3 i^{3}+i^{2}+i^{11}-i^{18} =3\cdot(-i)+(-1)+(-i)-(-1).
Agora fazer as operações em ordem:
3\cdot(-i)=-3i,
então
-3i + (-1) + (-i) -(-1) = -3i -1 -i +1.
Os termos escalares -1 e +1 se cancelam:
-3i - i = -4i.

Resposta

-4i

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