Determine todas as soluções complexas de
.
Escolha uma opção:
◯ C.
e
◯ a.
◯ b.
e
◯ d.
e
◯ e.
e
Escolha uma opção:
◯ C.
◯ a.
◯ b.
◯ d.
◯ e.
Passo 1
O enunciado pede: determinar todas as soluções complexas da equação
.
Informações relevantes: a incógnita é um número complexo e a igualdade envolve a unidade imaginária
. O objetivo é encontrar todos os
tais que
.
Informações relevantes: a incógnita é um número complexo
Passo 2
Vamos usar a forma trigonométrica/exponencial dos números complexos para extrair raízes. Aqui vai uma mini-aula sobre isso.
Qualquer número complexo
pode ser escrito como
onde
é o módulo (uma quantidade real não negativa) e
é um argumento de
(ângulo). O argumento não é único: se
é argumento, então
também é argumento para qualquer
.
Se queremos
tal que
, escrevemos
em forma exponencial como
. Então
Para que isso ocorra precisamos de duas condições:
Daí
Portanto a equação
tem exatamente duas soluções distintas (quando
), correspondentes a
e
:
Passo 3
Aplicando isso a
. Primeiro escrevemos
em forma exponencial. O módulo é
e um argumento de
é
(pois
). Como argumentos podem ser adicionados de
, usamos
se preciso, mas a fórmula já cuida disso.
Logo
e os argumentos dos valores de
são
Passo 4
Agora calculamos as duas soluções usando
e
.
Para
:
Para
:
Observação rápida de verificação: elevando
ao quadrado:
confirmando que funciona. E
também satisfaz
.
Passo 5
Agora comparando com as opções fornecidas: as soluções que encontramos são
e
. Isso corresponde à opção marcada como (a) no enunciado.
Resposta
(a)