Determine todas as soluções complexas de z^{2}=i.
Escolha uma opção:
◯ C. \frac{\sqrt{2}}{2}(1+i) e \frac{\sqrt{2}}{2}(-1+i)
◯ a. \quad \frac{\sqrt{2}}{2}(1+i) \mathrm{e}-\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)
◯ b. -\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i) e \frac{\sqrt{2}}{2}(-1+i)
◯ d. \frac{\sqrt{2}}{2}(1-i) e \frac{\sqrt{2}}{2}(-1+i)
◯ e. \frac{\sqrt{2}}{2}(1+i) e \frac{\sqrt{2}}{2}(1-i)

Passo 1

O enunciado pede: determinar todas as soluções complexas da equação \,z^{2}=i\,.
Informações relevantes: a incógnita é um número complexo z e a igualdade envolve a unidade imaginária i. O objetivo é encontrar todos os z\in\mathbb{C} tais que \,z^{2}=i.

Passo 2

Vamos usar a forma trigonométrica/exponencial dos números complexos para extrair raízes. Aqui vai uma mini-aula sobre isso.
Qualquer número complexo w\neq 0 pode ser escrito como
w = r\big(\cos\theta + i\sin\theta\big)=r e^{i\theta},
onde r=|w| é o módulo (uma quantidade real não negativa) e \theta é um argumento de w (ângulo). O argumento não é único: se \theta é argumento, então \theta+2k\pi também é argumento para qualquer k\in\mathbb{Z}.
Se queremos z tal que z^{2}=w, escrevemos z em forma exponencial como z=\rho e^{i\varphi}. Então
z^{2}=\rho^{2} e^{i2\varphi}=w = r e^{i\theta}.
Para que isso ocorra precisamos de duas condições:
\rho^{2}=r\qquad\text{e}\qquad 2\varphi = \theta + 2k\pi\quad(k\in\mathbb{Z}).
Daí
\rho=\sqrt{r}\qquad\text{e}\qquad \varphi=\frac{\theta}{2}+k\pi,\\ k\in\mathbb{Z}.
Portanto a equação z^{2}=w tem exatamente duas soluções distintas (quando w\neq 0), correspondentes a k=0 e k=1:
z=\sqrt{r}\,e^{i\left(\frac{\theta}{2}\right)} \quad\text{e}\quad z=\sqrt{r}\,e^{i\left(\frac{\theta}{2}+\pi\right)}=-\sqrt{r}\,e^{i\left(\frac{\theta}{2}\right)}.

Passo 3

Aplicando isso a w=i. Primeiro escrevemos i em forma exponencial. O módulo é
r=|i|=1,
e um argumento de i é \theta=\dfrac{\pi}{2} (pois i=\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}). Como argumentos podem ser adicionados de 2k\pi, usamos \theta=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi se preciso, mas a fórmula já cuida disso.
Logo \sqrt{r}=\sqrt{1}=1 e os argumentos dos valores de z são
\varphi=\frac{\theta}{2}+k\pi=\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}+k\pi=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k=0,1.

Passo 4

Agora calculamos as duas soluções usando k=0 e k=1.
Para k=0:
z_{0}=1\cdot e^{i\pi/4}= \cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}+\;i\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i).
Para k=1:
z_{1}=1\cdot e^{i(\pi/4+\pi)}=e^{i5\pi/4}=\cos\frac{5\pi}{4}+i\sin\frac{5\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}=\,-\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i).
Observação rápida de verificação: elevando z_{0} ao quadrado:
\left(\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)\right)^{2}=\frac{1}{2}(1+i)^{2}=\frac{1}{2}(1+2i+i^{2})=\frac{1}{2}(1+2i-1)=i,
confirmando que funciona. E z_{1}=-z_{0} também satisfaz z_{1}^{2}=(-z_{0})^{2}=z_{0}^{2}=i.

Passo 5

Agora comparando com as opções fornecidas: as soluções que encontramos são \dfrac{\sqrt{2}}{2}(1+i) e -\dfrac{\sqrt{2}}{2}(1+i). Isso corresponde à opção marcada como (a) no enunciado.

Resposta

(a)

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