Calcule:
6.12) integral duplaD(x^2+y^2) d x d y, onde D=(x, y) in R^2 ; 1 <= x^2+y^2 <= 4.

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral dupla integral duplaD (x^2 + y^2),dx,dy, onde D é o anel definido por 1 <= x^2 + y^2 <= 4. O conteúdo aqui é mudança para coordenadas polares e uso do jacobiano para integrais duplas.

Passo 2

Em coordenadas polares fazemos x = rcostheta, y = rsintheta e dx,dy = r,dr,dtheta. Além disso, x^2 + y^2 = r^2. O domínio D vira 1 <= r^2 <= 4, ou seja 1 <= r <= 2, e theta varia de 0 a 2pi.

Passo 3

Montamos a integral em polares:
integral duplaD(x^2+y^2),dx,dy = integral0^2piintegral1^2 r^2 cdot r,dr,dtheta = integral0^2piintegral1^2 r^3,dr,dtheta

Passo 4

Calculamos a integral interna em r:
integral1^2 r^3,dr = l[r^44r]1^2 = 2^44 - 1^44 = 16-14 = 154

Passo 5

Agora a integral em theta é trivial, multiplicando por 2pi:
integral duplaD(x^2+y^2),dx,dy = integral0^2pi 154 ,dtheta = 154 cdot 2pi = 152pi

Resposta

152pi

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