Calcule f(t)=L^-1F(s), sendo
F(s)=e^-pi ss^2+16

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transformada inversa de Laplace juntos! A questão pede para calcular , onde . O conteúdo que vamos usar aqui é a Transformada Inversa de Laplace, especialmente o teorema do deslocamento no tempo. Vamos precisar conhecer as transformadas básicas e como aplicar esse teorema para resolver o problema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que Lsin(at) = as^2 + a^2 é uma transformada de Laplace conhecida. Sabemos que:
Lsin(4t) = 4s^2 + 16
Aqui, L^-11s^2+16 = 14sin(4t) , pois . Então, podemos escrever:
Mas no nosso caso, temos , que é igual a vezes a transformada de . Portanto:

Passo 3

Agora, observe que nossa função Lf(t - a)u(t - a) = e^-a sF(s) tem um fator . Isso indica um deslocamento no tempo. O teorema do deslocamento no tempo diz que:
Onde é a função degrau de Heaviside que “liga” a função a partir de . Comparando com nosso , vemos que . Então, para encontrar , precisamos deslocar a função no tempo em unidades.

Passo 4

Aplicando o teorema do deslocamento, temos:
f(t) = L^-1e^-pi ss^2+16 = 14sin(4(t - pi))u(t - pi)
Isso significa que é igual a para e zero antes disso.

Resposta

f(t) = 14sin(4(t - pi))u(t - pi)

Exercícios relacionados