Considere as curvas dadas em coordenadas polares
r=2 cos theta, r=1
(b) Encontre a área da região que está DENTRO de ambas as curvas.
  • Partes: integral u d v=u v-integral v d u
  • sen^2(u)=1-cos (2 u)2
  • integral sen(u) d u=-cos (u)+C
|llll| hline & $pi6$ & $pi4$ & $pi3$ hline $sen$ & $12$ & $raiz22$ & $raiz32$ hline

Passo 1

Vamos calcular a área da região comum às curvas em coordenadas polares r=2 cosθ e r=1 usando a fórmula de área em polares A=tfrac12integral r^2,dθ.

Passo 2

Precisamos primeiro achar os ângulos de interseção, resolvendo 2cosθ=1, o que dá cosθ=1/2 e logo θ=pmpi/3.

Passo 3

Para cada θ, o valor de r que está dentro das duas curvas é rmax=min1,,2cosθ. Como 2cosθ>=1 para |θ|<=pi/3, temos rᵐᵃˣ=1 nesse intervalo; e para pi/3<=|θ|<=pi/2, 2cosθ<=1, vale rᵐᵃˣ=2 cosθ. Fora de |θ|>pi/2, 2 cosθ≤0 e não contribui.

Passo 4

Dividimos a área em duas partes simétricas em torno de θ=0:
Parte 1: |θ|<=pi/3, r vai até 1.
A1=12integral-pi/3^pi/31^2,dθ=12l(2cdottfracpi3r)=pi3

Passo 5

Parte 2: pi/3<=|θ|<=pi/2, r vai até 2 cosθ. Usamos a simetria e escrevemos
A2=2cdot12integralpi/3^pi/2(2cosθ)^2,dθ=4integralpi/3^pi/2cos^2θ,dθ

Passo 6

Aplicando cos^2θ=tfrac1+cos2θ2,
A2=4integralpi/3^pi/21+cos2θ2,dθ=2l[θ+tfracsin2θ2r]pi/3^pi/2=pi3-raiz32

Passo 7

Somando as duas partes obtemos a área total:
A=A1+A2=pi3+l(pi3-raiz32r)=2pi3-raiz32

Resposta

2pi3-raiz32

Exercícios relacionados