Considere as curvas dadas em coordenadas polares
(b) Encontre a área da região que está DENTRO de ambas as curvas.
- Partes:
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Passo 1
Vamos calcular a área da região comum às curvas em coordenadas polares r=2 cosθ e r=1 usando a fórmula de área em polares
.
Passo 2
Precisamos primeiro achar os ângulos de interseção, resolvendo
, o que dá
e logo
.
Passo 3
Para cada θ, o valor de r que está dentro das duas curvas é
. Como
para
, temos rᵐᵃˣ=1 nesse intervalo; e para
,
, vale rᵐᵃˣ=2 cosθ. Fora de
, 2 cosθ≤0 e não contribui.
Passo 4
Dividimos a área em duas partes simétricas em torno de θ=0:
Parte 1: , r vai até 1.
Parte 1:
Passo 5
Parte 2:
, r vai até 2 cosθ. Usamos a simetria e escrevemos
Passo 6
Aplicando
,
Passo 7
Somando as duas partes obtemos a área total: