Se
, encontre
e esboce o gráfico de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a transformada inversa de Laplace de
e depois esboçar o gráfico de
. A matéria que vamos usar aqui é a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta incrível para resolver equações diferenciais e analisar sistemas. Precisamos entender as propriedades da transformada inversa e como lidar com termos que envolvem exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a função
em duas partes para facilitar a inversão. Podemos reescrever:
Isso nos ajuda a trabalhar cada termo individualmente.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a transformada inversa de cada termo separadamente.
-
Transformada inversa de
:
Sabemos que:Ou seja, a inversa deé uma função linear . -
Transformada inversa de
:
Aqui usamos a propriedade de deslocamento na transformada de Laplace:Ondeé a função degrau de Heaviside. Aplicando isso:
Passo 4
Agora, juntando as duas transformadas inversas que encontramos:
Isso significa que nossa função
é igual a
para
e, a partir de
, subtrai
.
Passo 5
Vamos interpretar isso no gráfico:
- Para
: . Isso é uma linha reta passando pela origem com inclinação 1. - Para
: . A função se torna constante, igual a 2.
Então, o gráfico começa como uma rampa (linha inclinada) até
e depois se estabiliza em um valor constante de 2.
Resposta
A transformada inversa é:
E o gráfico de
é uma rampa crescente até
e, a partir desse ponto, permanece constante em 2.