Se F(s)=1-e^-2 ss^2, encontre f(t)=L^-1F(s) e esboce o gráfico de f(t).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a transformada inversa de Laplace de e depois esboçar o gráfico de . A matéria que vamos usar aqui é a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta incrível para resolver equações diferenciais e analisar sistemas. Precisamos entender as propriedades da transformada inversa e como lidar com termos que envolvem exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a função F(s) = 1s^2 - e^-2ss^2 em duas partes para facilitar a inversão. Podemos reescrever:
Isso nos ajuda a trabalhar cada termo individualmente.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a transformada inversa de cada termo separadamente.
  1. Transformada inversa de L^-11s^2 = t :
    Sabemos que:
    L^-1e^-asF(s) = u(t - a)f(t - a)
    Ou seja, a inversa de L^-1e^-2ss^2 = u(t - 2)(t - 2) é uma função linear .
  2. Transformada inversa de :
    Aqui usamos a propriedade de deslocamento na transformada de Laplace:
    Onde é a função degrau de Heaviside. Aplicando isso:

Passo 4

Agora, juntando as duas transformadas inversas que encontramos:
f(t) = t - u(t - 2)(t - 2)
Isso significa que nossa função é igual a para e, a partir de , subtrai .

Passo 5

Vamos interpretar isso no gráfico:
  • Para : . Isso é uma linha reta passando pela origem com inclinação 1.
  • Para : . A função se torna constante, igual a 2.
Então, o gráfico começa como uma rampa (linha inclinada) até e depois se estabiliza em um valor constante de 2.

Resposta

A transformada inversa é:
f(t) = t - (t - 2)u(t - 2)
E o gráfico de é uma rampa crescente até e, a partir desse ponto, permanece constante em 2.

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