Calcule L^-1[F(s)], sendo:
(g) F(s)=2 s^2+6 s+9s^3+9 s

Passo 1

O enunciado pede para a gente encontrar a transformada inversa de Laplace de F(s)=2s^2+6s+9s^3+9s. O conteúdo aqui é frações parciais em Laplace: vamos usar a fatoração do denominador e tabelas conhecidas de L^-1.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador: s^3+9s = s,(s^2+9)Isso mostra que podemos decompor F(s) em termos de 1/s e de uma parte sobre s^2+9.
Assumimos a forma de frações parciais: 2s^2+6s+9s(s^2+9) = As + Bs+Cs^2+9Multiplicando ambos os lados por s(s^2+9), fica: 2s^2+6s+9 = A(s^2+9) + (Bs+C)sAgora comparamos coeficientes de cada potência de s: s^2: A+B=2, s: C=6, termo constante: 9A=9 A=1. Logo B=2-A=1 e C=6.

Passo 3

Então a decomposição é: F(s)=1s + s+6s^2+9Aí aplicamos L^-1 sabendo que L^-1[1/s]=1, L^-1[s/(s^2+9)]=cos(3t) e L^-1[6/(s^2+9)]=6cdot13sin(3t)=2sin(3t).
Somando todas as partes, a resposta fica a função no domínio do tempo:

Resposta

f(t)=1+cos(3t)+2sin(3t)

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