Calcule L^-1[F(s)], sendo:
(b) F(s)=3 s+15s^2+3 s

Passo 1

O problema pede para encontrar a transformada inversa de Laplace de F(s)=3s+15s^2+3s. O assunto aqui é transformada inversa de Laplace e vamos precisar usar o método de frações parciais para decompor F(s) em termos cujas inversas sejam conhecidas.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador: s^2+3s = s(s+3). Assim, queremos escrever
3s+15s(s+3) = As + Bs+3

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por s(s+3) obtemos
3s+15 = A(s+3) + Bs
Comparando coeficientes de s e termos constantes, temos:
  • Coeficiente de s: 3 = A + B
  • Termo constante: 15 = 3A
    Daí A = 5 e B = 3-5 = -2.
    Logo
3s+15s(s+3) = 5s - 2s+3

Passo 4

Agora aplicamos a transformada inversa de Laplace em cada termo:
  • L^-1[1/s] = 1
  • L^-1[1/(s+3)] = e^-3t.
    Multiplicando pelos coeficientes, temos
L^-1l[5sr] = 5, L^-1l[2s+3r] = 2e^-3t
Como o segundo termo vem com sinal negativo, juntamos para obter a resposta.

Passo 5

Juntando tudo, a transformada inversa é a soma das partes: 5 menos 2e^-3t.

Resposta

5 - 2e^-3t

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