Calcule L^-1[F(s)], sendo:
F(s)=2 s^2+6 s+9s^3+9 s

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer calcular a transformada inversa de Laplace de $ F(s) = \frac{2 s^{2}+6 s+9}{s^{3}+9 s} $. Isso faz parte do conteúdo de Transformadas de Laplace, que é uma ferramenta super útil para resolver equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como fazer frações parciais e aplicar as transformadas inversas de cada termo resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão de $ F(s) $. Observe que o denominador $ s^{3} + 9s $ pode ser fatorado. Vamos fazer isso para facilitar a decomposição em frações parciais.

Passo 3

Fatorando o denominador:
s^3 + 9s = s(s^2 + 9)
Então, $ F(s) $ fica:
F(s)
Agora, vamos decompor essa fração em frações parciais.

Passo 4

Vamos assumir que:
2 s^2 + 6 s + 9s(s^2 + 9) = As + Bs + Cs^2 + 9
Nosso objetivo é encontrar os valores de $ A $, $ B $ e $ C $.

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por $ s(s^{2} + 9) $ para eliminar os denominadores:
s(s^2 + 9)
Expandindo o lado direito:
2 s^2 + 6 s + 9 = A(s^2 + 9) + (Bs + C)s
Agrupando os termos semelhantes:
2 s^2 + 6 s + 9 = A s^2 + 9A + Bs^2 + Cs
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
2 s^2 + 6 s + 9 = (A + B)s^2 + Cs + 9A
A + B = 2 (1)
C = 6 (2)
Resolvendo a equação (3):
9A = 9 (3)
Substituindo A na equação (1):
A = 1
Então, temos:
1 + B = 2 implies B = 1

Passo 6

Agora que temos $ A $, $ B $ e $ C $, podemos escrever a decomposição em frações parciais:
A
Vamos agora calcular a transformada inversa de Laplace de cada termo separadamente.

Passo 7

Calculando $ L^{-1}\left{\frac{1}{s}\right} $:
Sabemos que:
L^-11s

Passo 8

Calculando $ L{-1}\left{\frac{s}{s{2} + 9}\right} $:
Sabemos que:
L^-1ss^2 + 9
Aqui, $ a = 3 $, então:
L^-1ss^2 + a^2 = cos(a t)

Passo 9

Calculando $ L{-1}\left{\frac{6}{s{2} + 9}\right} $:
Sabemos que:
L^-16s^2 + 9
Aqui, $ a = 3 $, então:
L^-1as^2 + a^2 = sin(a t)
(Observe que 6 dividido por 3 dá 2)

Resposta

Juntando tudo, a transformada inversa de $ F(s) $ é:
F(s)

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