Calcule
, sendo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer calcular a transformada inversa de Laplace de $ F(s) = \frac{2 s^{2}+6 s+9}{s^{3}+9 s} $. Isso faz parte do conteúdo de Transformadas de Laplace, que é uma ferramenta super útil para resolver equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como fazer frações parciais e aplicar as transformadas inversas de cada termo resultante.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão de $ F(s) $. Observe que o denominador $ s^{3} + 9s $ pode ser fatorado. Vamos fazer isso para facilitar a decomposição em frações parciais.
Passo 3
Fatorando o denominador:
Então, $ F(s) $ fica:
Agora, vamos decompor essa fração em frações parciais.
Passo 4
Vamos assumir que:
Nosso objetivo é encontrar os valores de $ A $, $ B $ e $ C $.
Passo 5
Multiplicando ambos os lados por $ s(s^{2} + 9) $ para eliminar os denominadores:
Expandindo o lado direito:
Agrupando os termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Resolvendo a equação (3):
Substituindo A na equação (1):
Então, temos:
Passo 6
Agora que temos $ A $, $ B $ e $ C $, podemos escrever a decomposição em frações parciais:
Vamos agora calcular a transformada inversa de Laplace de cada termo separadamente.
Passo 7
Calculando $ L^{-1}\left{\frac{1}{s}\right} $:
Sabemos que:
Sabemos que:
Passo 8
Calculando $ L{-1}\left{\frac{s}{s{2} + 9}\right} $:
Sabemos que:
Sabemos que:
Aqui, $ a = 3 $, então:
Passo 9
Calculando $ L{-1}\left{\frac{6}{s{2} + 9}\right} $:
Sabemos que:
Sabemos que:
Aqui, $ a = 3 $, então:
(Observe que 6 dividido por 3 dá 2)
Resposta
Juntando tudo, a transformada inversa de $ F(s) $ é: