Os métodos de expansão em série são diretamente aplicáveis em EDOs de primeira ordem homogêneas desde que
seja analítica no ponto de expansão
. Resolva as EDOs de primeira ordem abaixo e se possível compare com os métodos aprendidos anteriormente (para a comparação use a expansão em série de Taylor).
(b)
em torno de
Res:
.
(b)
Passo 1
Resumo do problema: a equação é (1−x) y′=y, uma EDO de primeira ordem homogênea. O objetivo é resolver por séries de potências em torno de x₀=0. O conteúdo é expansão em série de Taylor (séries de potências) e vamos precisar assumir que y(x) é analítica em 0 e escrever y como uma soma ∑aₙxⁿ.
Passo 2
Assumimos a série de potências
Então a derivada é
Passo 3
Substituímos na EDO (1−x)y′=y: primeiro expandimos o lado esquerdo
Isso deve ser igual a y(x)=\sum_{n=0}{\infty}a_nxn. Igualando coeficientes de xⁿ obtemos
ou seja
Passo 4
Da relação de recorrência aₙ=a₀ para todo n≥0. Logo a solução geral em série é
Escolhendo a constante de integração a₀=y(0)=1 fica
Passo 5
Comparação com o método tradicional: separando variáveis temos
logo y=C/(1-x). Expandindo em série de Taylor
vemos que coincide com a solução por séries obtida acima.