Os métodos de expansão em série são diretamente aplicáveis em EDOs de primeira ordem homogêneas desde que p(x) seja analítica no ponto de expansão x0. Resolva as EDOs de primeira ordem abaixo e se possível compare com os métodos aprendidos anteriormente (para a comparação use a expansão em série de Taylor).
(b) (1-x) y^prime=y em torno de x0=0 Res: y(x)=sumn=0^infty x^n.

Passo 1

Resumo do problema: a equação é (1−x) y′=y, uma EDO de primeira ordem homogênea. O objetivo é resolver por séries de potências em torno de x₀=0. O conteúdo é expansão em série de Taylor (séries de potências) e vamos precisar assumir que y(x) é analítica em 0 e escrever y como uma soma ∑aₙxⁿ.

Passo 2

Assumimos a série de potências
y(x)=sumn=0^inftyanx^n
Então a derivada é
y'(x)=sumn=1^inftyn,anx^n-1=sumn=0^infty(n+1)an+1x^n

Passo 3

Substituímos na EDO (1−x)y′=y: primeiro expandimos o lado esquerdo
(1-x)y'=sumn=0^ infty(n+1)an+1x^n-sumn=0^inftyn,anx^n
Isso deve ser igual a y(x)=\sum_{n=0}{\infty}a_nxn. Igualando coeficientes de xⁿ obtemos
(n+1)an+1-n an=an
ou seja
(n+1)an+1=(n+1)anLongrightarrow an+1=an

Passo 4

Da relação de recorrência aₙ=a₀ para todo n≥0. Logo a solução geral em série é
y(x)=a0sumn=0^inftyx^n=a01-x
Escolhendo a constante de integração a₀=y(0)=1 fica
y(x)=sumn=0^inftyx^n

Passo 5

Comparação com o método tradicional: separando variáveis temos
y'y=11-xLongrightarrowln y=-ln(1-x)+C
logo y=C/(1-x). Expandindo em série de Taylor
11-x=sumn=0^inftyx^n
vemos que coincide com a solução por séries obtida acima.

Resposta

y(x)=sumn=0^inftyx^n

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