Resolva o seguinte PVI
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um Problema de Valor Inicial (PVI) envolvendo uma Equação Diferencial Ordinária (EDO). Nosso objetivo é encontrar uma função
que satisfaça a equação dada e que passe pelo ponto específico
. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de resolução de EDOs, como substituições e métodos de integração.
Passo 2
Vamos começar escrevendo a equação diferencial dada:
Para facilitar a resolução, vamos reorganizar essa equação. Primeiro, vamos multiplicar ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Passo 3
Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Vamos definir
. Assim, a derivada de
em relação a
é:
Isso nos permite expressar
em termos de
:
Passo 4
Substituindo na equação original, temos:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Passo 5
Agora, vamos reorganizar a equação para a forma padrão de uma equação diferencial linear:
Aqui, identificamos que é uma equação linear na forma:
onde
e
.
Passo 6
Para resolver essa equação linear, precisamos encontrar um fator integrante
, que é dado por:
Como estamos trabalhando com
, podemos simplificar para
.
Passo 7
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso nos permite reescrever a equação como uma derivada do produto:
Passo 8
Integrando ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração.
Passo 9
Resolvendo para
:
Lembrando que
, temos:
Passo 10
Aplicando a condição inicial
para encontrar
:
Passo 11
Substituindo
de volta na equação de
:
Simplificando:
Resposta
A solução do PVI é: