(1,0) Resolva o seguinte PVI
l x d yd x=3 y+x^2y y(-1)=2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um Problema de Valor Inicial (PVI) envolvendo uma Equação Diferencial Ordinária (EDO). Nosso objetivo é encontrar uma função que satisfaça a equação dada e que passe pelo ponto específico . Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de resolução de EDOs, como substituições e métodos de integração.

Passo 2

Vamos começar escrevendo a equação diferencial dada:
x dydx = 3y + x^2y
Para facilitar a resolução, vamos reorganizar essa equação. Primeiro, vamos multiplicar ambos os lados por x y dydx = 3y^2 + x^2 para eliminar o denominador:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Vamos definir dzdx = 2y dydx . Assim, a derivada de y dydx = 12 dzdx em relação a é:
Isso nos permite expressar em termos de :

Passo 4

Substituindo na equação original, temos:
x ( 12 dzdx ) = 3z + x^2
Simplificando:
x2 dzdx = 3z + x^2
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
x dzdx = 6z + 2x^2

Passo 5

Agora, vamos reorganizar a equação para a forma padrão de uma equação diferencial linear:
dzdx - 6x z = 2x
Aqui, identificamos que é uma equação linear na forma:
dzdx + P(x) z = Q(x)
onde e .

Passo 6

Para resolver essa equação linear, precisamos encontrar um fator integrante mu(x) = e^integral P(x) dx = e^integral -6x dx = e^-6 ln|x| = |x|^-6 , que é dado por:
Como estamos trabalhando com , podemos simplificar para .

Passo 7

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
x^-6 dzdx - 6x^-7 z = 2x^-5
Isso nos permite reescrever a equação como uma derivada do produto:
ddx ( x^-6 z ) = 2x^-5

Passo 8

Integrando ambos os lados em relação a integral ddx ( x^-6 z ) dx = integral 2x^-5 dx :
x^-6 z = -12 x^-4 + C
onde é a constante de integração.

Passo 9

Resolvendo para z = x^6 ( -12 x^-4 + C ) = -12 x^2 + C x^6 :
y^2 = -12 x^2 + C x^6
Lembrando que , temos:

Passo 10

Aplicando a condição inicial 2^2 = -12 (-1)^2 + C (-1)^6 para encontrar 4 = -12 + C :
C = 4 + 12 = 92

Passo 11

Substituindo y^2 = -12 x^2 + 92 x^6 de volta na equação de y = raiz -12 x^2 + 92 x^6 = raiz -x^2 + 9x^6 raiz2 :
Simplificando:

Resposta

A solução do PVI é:
y(x) = raiz -x^2 + 9x^6 raiz2

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