Calcule L^-1[F(s)], sendo:
F(s)=3 s-9s^3+9 s

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada inversa de Laplace de F(s)=3s-9s^3+9s. O conteúdo é Transformada de Laplace inversa e vamos precisar usar frações parciais e tabelas básicas de L^-1.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador: s^3+9s=s(s^2+9). Assim queremos decompor
3s-9s(s^2+9)=As+Bs+Cs^2+9
Multiplicando ambos os lados por s(s^2+9) obtemos
3s-9=A(s^2+9)+(Bs+C)s=(A+B)s^2+Cs+9A
Comparando coeficientes:
  • coeficiente de s^2: A+B=0
  • coeficiente de s: C=3
  • termo independente: 9A=-9
    Resolvendo, A=-1, B=1 e C=3. Logo
F(s)= -1s+s+3s^2+9= -1s+ss^2+9+3s^2+9

Passo 3

Agora aplicamos as transformadas inversas conhecidas:
  • L^-11/s=1
  • L^-1s/(s^2+9)=cos(3t)
  • L^-13/(s^2+9)=33sin(3t)=sin(3t)
    Considerando os sinais, o resultado final é
    f(t) = -1+ cos(3t)+ sin(3t).

Resposta

f(t)= -1 + \cos(3t) + \sin(3t)

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