Calcule:
(1+i)^1+i;

Passo 1

O exercício pede para calcular (1+i)^1+i. O assunto aqui é exponenciação de números complexos, e vamos precisar usar a forma polar do número, a definição do logaritmo complexo e a fórmula .

Passo 2

Primeiro, representamos 1+i em forma polar usando a fórmula de Euler. Calculamos o módulo e o argumento:
Módulo:
r=|1+i|=raiz1^2+1^2=raiz2
Argumento principal:
theta=arg(1+i)=pi4
Portanto
1+i=raiz2,e^ipi/4

Passo 3

Em seguida, encontramos o logaritmo complexo principal de 1+i. Pela definição:

Passo 4

Agora usamos a definição de exponenciação complexa:

Passo 5

Temos então
(1+i)^1+i=e^(1+i)l(ln(raiz2)+itfracpi4r)
Vamos expandir o produto no expoente:
(1+i)l(ln(raiz2)+itfracpi4r)=1cdotln(raiz2)+1cdot itfracpi4+iln(raiz2)+i^2tfracpi4
Lembrando i^2=-1, isso dá
=ln(raiz2)-tfracpi4+il(ln(raiz2)+tfracpi4r)

Passo 6

Por fim, escrevemos o resultado na forma trigonométrica/exponencial:
$$(1+i){1+i}=e{\ln(\sqrt2)-\tfrac{\pi}{4}};e^{i\bigl(\ln(\sqrt2)+\tfrac{\pi}{4}\bigr)}.
(1+i)^1+i=e^ln(raiz2)-tfracpi4;e^il(ln(raiz2)+tfracpi4r) \sqrt2,e^{-\tfrac{\pi}{4}}\bigl[\cos\bigl(\ln(\sqrt2)+\tfrac{\pi}{4}\bigr)+i\sin\bigl(\ln(\sqrt2)+\tfrac{\pi}{4}\bigr)\bigr].$$

Passo 7

Esse é o valor de (1+i)^1+i na forma final.

Resposta

$ (1+i){1+i}=\sqrt2,e{-\tfrac{\pi}{4}}\Bigl[\cos\bigl(\ln(\sqrt2)+\tfrac{\pi}{4}\bigr)+i\sin\bigl(\ln(\sqrt2)+\tfrac{\pi}{4}\bigr)\Bigr]$.

Exercícios relacionados