Calcule:
;
Passo 1
O exercício pede para calcular
. O assunto aqui é exponenciação de números complexos, e vamos precisar usar a forma polar do número, a definição do logaritmo complexo e a fórmula .
Passo 2
Primeiro, representamos
em forma polar usando a fórmula de Euler. Calculamos o módulo e o argumento:
Módulo:
Argumento principal:
Portanto
Passo 3
Em seguida, encontramos o logaritmo complexo principal de
. Pela definição:
Passo 4
Agora usamos a definição de exponenciação complexa:
Passo 5
Temos então
Vamos expandir o produto no expoente:
Lembrando
, isso dá
Passo 6
Por fim, escrevemos o resultado na forma trigonométrica/exponencial:
$$(1+i){1+i}=e{\ln(\sqrt2)-\tfrac{\pi}{4}};e^{i\bigl(\ln(\sqrt2)+\tfrac{\pi}{4}\bigr)}.
Passo 7
Esse é o valor de
na forma final.
Resposta
$ (1+i){1+i}=\sqrt2,e{-\tfrac{\pi}{4}}\Bigl[\cos\bigl(\ln(\sqrt2)+\tfrac{\pi}{4}\bigr)+i\sin\bigl(\ln(\sqrt2)+\tfrac{\pi}{4}\bigr)\Bigr]$.