Calcule:
tan (7-pi i);

Passo 1

O enunciado pede para calcular tan(7 - pi i), ou seja, a tangente de um número complexo. O conteúdo envolve funções trigonométricas de argumento complexo, e vamos precisar usar a definição tan z = dfracsin zcos z junto com as fórmulas de sin(x + iy) e cos(x + iy) em termos de funções hiperbólicas.

Passo 2

Para expressar sin(x+iy) e cos(x+iy), lembramos que:
sin(x+iy)=sin xcosh y + i,cos xsinh y
cos(x+iy)=cos xcosh y - i,sin xsinh y
Essas fórmulas vêm da extensão das funções trigonométricas ao plano complexo.

Passo 3

Aplicando com x=7 e y=-pi:
Como cosh(-pi)=coshpi e sinh(-pi)=-sinhpi, obtemos
sin(7-pi i)=sin7coshpi - i,cos7sinhpi
cos(7-pi i)=cos7coshpi + i,sin7sinhpi
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tan(7-pi i)=sin7coshpi - icos7sinhpicos7coshpi + isin7sinhpi.

Passo 4

Para simplificar, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador e usamos identidades de duplo ângulo:
sin14=2sin7cos7 e sinh2pi=2sinhpicoshpi
cos14=cos^2 7-sin^2 7 e cosh2pi=cosh^2pi+sinh^2pi
Após essa racionalização e aplicação das identidades, chega-se a
tan(7-pi i)=sin14 - isinh2picos14 + cosh2pi.

Resposta

tan(7-pi i)=dfracsin14 - isinh2picos14 + cosh2pi

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