Calcule:
cot (2-3 i);

Passo 1

O problema pede para calcular cot(2-3i), que é trigonometria complexa. Vamos usar as fórmulas de seno e cosseno para argumento complexo e a definição de cotangente.

Passo 2

Definimos

Passo 3

Usamos a fórmula
sin(a+ib)=sin a,cosh b + icos a,sinh b
com a=2 e b=-3. Como cosh(-3)=cosh3 e sinh(-3)=-sinh3, temos

Passo 4

Usamos também
cos(a+ib)=cos a,cosh b - isin a,sinh b
para obter

Passo 5

Chamando
A=cos2cosh3,
B=sin2sinh3,
C=sin2cosh3
e
D=-cos2sinh3,
então
$$\cot(2-3i)=\frac{A+iB}{C+iD}
=\frac{A C+B D}{C2+D2}+i\frac{B C-A D}{C2+D2},.$$

Passo 6

Calculando
A C+B D=cos2sin2(cosh^2 3-sinh^2 3)=cos2sin2,
B C-A D=sinh3cosh3,
C^2+D^2=sin^2 2cosh^2 3+cos^2 2sinh^2 3.
Assim chegamos à forma final.

Passo 7

Resposta

cot(2-3i)=cos2sin2sin^2 2cosh^2 3+cos^2 2sinh^2 3+i,sinh3cosh3sin^2 2cosh^2 3+cos^2 2sinh^2 3.

Exercícios relacionados