Calcule:
(1+i)^{12}

Passo 1

O enunciado pede para calcular (1+i)^{12}. O conteúdo aqui é potência de número complexo, e a estratégia mais rápida é usar a forma polar (ou exponencial) e o Teorema de De Moivre.

Passo 2

Primeiro, escrevemos 1+i em forma polar. O módulo é
r = |1+i| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2},
e o argumento (ângulo) é
\theta = \arg(1+i) = \frac{\pi}{4},
pois o ponto (1,1) no plano complexo faz 45^\circ com o eixo real positivo.

Passo 3

Pela forma exponencial de Euler, temos
1+i = r\,e^{i\theta} = \sqrt{2}\,e^{\,i\pi/4}.
O Teorema de De Moivre diz que
(r\,e^{i\theta})^n = r^n\,e^{i n\theta}.

Passo 4

Aplicando com r=\sqrt{2}, \theta=\pi/4 e n=12, obtemos
(1+i)^{12} = \bigl(\sqrt{2}\bigr)^{12}\,e^{\,i\,(12\cdot\pi/4)} = \bigl(2^{1/2}\bigr)^{12}\,e^{\,i\,3\pi} = 2^6\,e^{\,i\,3\pi} = 64\,e^{\,i\,3\pi}.

Passo 5

Agora escrevemos e^{i\,3\pi}=\cos(3\pi)+i\sin(3\pi). Sabemos que \cos(3\pi)=-1 e \sin(3\pi)=0. Então
64\,e^{\,i\,3\pi} = 64\bigl(-1 + i\cdot0\bigr) = -64.

Resposta

(1+i)^{12} = -64.

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