(a) Determine a real para que \frac{a+i}{1+a i} seja real.
(b) Determine a real para que \frac{a+i}{1+a i} seja imaginário puro.

Passo 1

O enunciado pede os valores reais de a tais que o número complexo
\frac{a + i}{1 + a\,i}
seja (a) real ou (b) imaginário puro. Para isso vamos racionalizar o denominador e separar as partes real e imaginária.

Passo 2

Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado de 1 + a\,i, que é 1 - a\,i:
\frac{a + i}{1 + a\,i} = \frac{(a + i)(1 - a\,i)}{(1 + a\,i)(1 - a\,i)} = \frac{2a + i(1 - a^2)}{1 + a^2}.
Portanto
\Re\Bigl(\tfrac{a + i}{1 + a\,i}\Bigr)=\frac{2a}{1 + a^2}, \quad \Im\Bigl(\tfrac{a + i}{1 + a\,i}\Bigr)=\frac{1 - a^2}{1 + a^2}.

Passo 3

Para a expressão ser real precisamos de \Im=0, ou seja
\frac{1 - a^2}{1 + a^2}=0 \;\Longrightarrow\; 1 - a^2=0 \;\Longrightarrow\; a=\pm 1.

Passo 4

Para a expressão ser imaginário puro precisamos de \Re=0, ou seja
\frac{2a}{1 + a^2}=0 \;\Longrightarrow\; 2a=0 \;\Longrightarrow\; a=0.

Resposta

(a) a = \pm 1
(b) a = 0

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