Calcule.
(1+j)^j

Passo 1

O enunciado pede para calcular a potência de número complexo (1+j)^j. O conteúdo envolvido é exponenciação de números complexos, e vamos precisar usar a forma polar de um número complexo e a fórmula (re^jtheta)^z = e^z(ln r + jtheta).

Passo 2

Primeiro vamos expressar 1+j em forma polar. O módulo é \r=|1+j|=\sqrt{12+12}=\sqrt2\ e o argumento é \theta=\arg(1+j)=\pi/4. Logo
1+j=raiz2,e^jpi/4

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula da exponenciação complexa com expoente j:
(1+j)^j=(raiz2,e^jpi/4)^j=e^j(lnraiz2 + jtfracpi4)=e^jlnraiz2,e^-pi/4

Passo 4

Por fim, escrevemos o resultado em forma exponencial e, se quisermos, em forma trigonométrica. Como lnraiz2=tfrac12ln2, temos
(1+j)^j=e^-pi/4 + jtfrac12ln2=e^-pi/4l(cosl(tfrac12ln2r)+jsinl(tfrac12ln2r)r)

Resposta

$ (1+j)^j = e^{-\tfrac{\pi}{4} + j\tfrac{1}{2}\ln 2} = e^{-\pi/4}\bigl(\cos(\tfrac{1}{2}\ln 2) + j\sin(\tfrac{1}{2}\ln 2)\bigr)$.

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