Calcule.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a potência de número complexo
. O conteúdo envolvido é exponenciação de números complexos, e vamos precisar usar a forma polar de um número complexo e a fórmula
.
Passo 2
Primeiro vamos expressar
em forma polar. O módulo é \r=|1+j|=\sqrt{12+12}=\sqrt2\ e o argumento é \theta=\arg(1+j)=\pi/4. Logo
Passo 3
Agora aplicamos a fórmula da exponenciação complexa com expoente
:
Passo 4
Por fim, escrevemos o resultado em forma exponencial e, se quisermos, em forma trigonométrica. Como
, temos
Resposta
$ (1+j)^j = e^{-\tfrac{\pi}{4} + j\tfrac{1}{2}\ln 2} = e^{-\pi/4}\bigl(\cos(\tfrac{1}{2}\ln 2) + j\sin(\tfrac{1}{2}\ln 2)\bigr)$.